Misura di g con il pendolo: lo scarto è un'anomalia o un'incertezza?
Nel laboratorio didattico di un liceo, al secondo piano, un gruppo di studenti misura l'accelerazione di gravità con un pendolo semplice. Il filo è di acciaio, la sfera ha raggio 12 mm e la lunghezza è stata presa con un metro a nastro dalla sospensione al centro della sfera: L = 0,8000 m, con incertezza stimata 1 mm. Il periodo viene ricavato cronometrando 20 oscillazioni complete con un cronometro manuale azionato dall'operatore: t = 35,91 s, con ampiezza angolare iniziale di 10°. Con questi dati lo studente ottiene g = 9,797 m/s². Il valore della gravità locale fornito dall'IGM è 9,8015 m/s². Il tutor del gruppo vuole segnalare lo scarto in un abstract, presentandolo come possibile «anomalia locale», e propone di aggiungere cifre decimali al risultato per mostrare che i due valori «coincidono meglio». Un secondo studente osserva che il supporto vibra leggermente quando passa il tram e che il filo è stato riutilizzato molte volte. La temperatura del laboratorio è 24 °C.
1. Lo scarto tra 9,797 m/s² e 9,8015 m/s² è statisticamente significativo? Costruire il budget di incertezza e indicare quale contributo domina.
Read the worked answer
Scarto relativo. (9,8015 − 9,797)/9,8015 = 4,6·10⁻⁴, cioè 0,046%.
Budget in grandezze relative. Il periodo vale T = 35,91/20 = 1,79550 s. La sorgente dominante non è la risoluzione del cronometro (0,01 s), ma il tempo di reazione dell'operatore nell'avvio e nell'arresto: ±0,2 s sull'intero intervallo è una stima realistica e prudente. Allora u(t)/t = 0,2/35,91 = 0,56%, e poiché g ∝ T⁻², u(g)/g = 2·0,56% = 1,1%. La lunghezza contribuisce con 1 mm/800 mm = 0,125%. In quadratura: u(g)/g = √(1,1%² + 0,125%²) = 1,12%, cioè u(g) = 0,11 m/s².
Conclusione. Lo scarto (0,046%) è circa 24 volte più piccolo dell'incertezza standard: il risultato è 9,80 ± 0,11 m/s² (k = 1) ed è pienamente compatibile con 9,8015 m/s². Non c'è alcuna anomalia da segnalare e aggiungere cifre decimali non aggiunge informazione: la cifra significativa è già al secondo decimale. Per ridurre l'incertezza serve cambiare metodo (fotocellula con risoluzione 1 ms, oppure 200 oscillazioni), non il numero di cifre. Attenzione anche al tipo di errore: la reazione dell'operatore è in larga parte casuale, quindi ripetere la misura riduce la dispersione, ma non elimina un eventuale ritardo sistematico di azionamento.
2. Quali effetti sistematici vanno valutati e con quale ordine di grandezza? Indicare quali correggere e quali trascurare, motivando la priorità.
Read the worked answer
Ampiezza finita. Il periodo cresce come T = T₀(1 + θ₀²/16 + …); con θ₀ = 10° = 0,1745 rad, θ₀²/16 = 1,9·10⁻³, quindi g misurato è sottostimato di 2·1,9·10⁻³ = 0,38%: g corretto ≈ 9,834 m/s², cioè +0,037 m/s², circa un terzo dell'incertezza attuale. È un effetto noto e va applicato o almeno messo nel budget.
Riferimento della lunghezza. Se L fosse stata presa dalla sospensione alla sommità della sfera, l'errore sarebbe 12 mm/800 mm = 1,5% in g: quattordici volte l'incertezza attuale. Qui il setup dice «al centro», quindi è corretto, ma è il controllo numero uno perché è l'unico effetto capace, da solo, di spiegare uno scarto dell'ordine dell'1%.
Effetti trascurabili. Dilatazione termica del filo (α ≈ 12·10⁻⁶ K⁻¹, ΔT = 4 K) → 5·10⁻⁵. Spinta di Archimede sulla sfera (ρ_aria/ρ_acciaio ≈ 1,2/7800) → 1,5·10⁻⁴. Umidità e pressione atmosferica: ancora meno. La vibrazione del supporto non è una correzione ma una sorgente di dispersione: si manifesta come scatter tra ripetizioni e va mediata.
Priorità operativa. Primo: verificare il riferimento della lunghezza. Secondo: correggere l'ampiezza. Terzo: abbattere u(T) con la fotocellula. Solo dopo questi tre passi l'incertezza scende sotto lo 0,1% e i sistematici residui diventano il fattore limitante: è quello il momento in cui un eventuale scarto diventa fisicamente interessante.
3. Che cosa va scritto nel rapporto e come si risponde al tutor che vuole parlare di «anomalia locale»?
Read the worked answer
Il rapporto. Va riportato il risultato con la sua incertezza e la compatibilità con il riferimento: g = (9,83 ± 0,11) m/s² (k = 2, dopo correzione di ampiezza), compatibile con 9,8015 m/s². La frase corretta è «il risultato è compatibile con il valore di riferimento entro l'incertezza», non «i valori coincidono».
La parola «anomalia» è fuori discussione. Lo scarto è 0,05%, cioè 20–25 volte più piccolo dell'incertezza. Per rivendicare un effetto nuovo servirebbe un'incertezza inferiore di almeno due ordini di grandezza, un metodo indipendente e una replicazione da parte di un altro gruppo; con un cronometro manuale non si è nemmeno vicini.
Risposta al tutor. Si risponde sul metodo, non sull'entusiasmo: si mostra il budget, si spiega che il collo di bottiglia è il cronometro, si propone la fotocellula e la misura su 200 oscillazioni, si concorda una ripetizione in un giorno diverso per stimare la riproducibilità. Un abstract con «anomalia» su un dataset con u = 1% sarebbe respinto da qualunque rivista e danneggerebbe la credibilità del gruppo; una nota interna che documenta budget, correzioni e piano di miglioramento è invece un prodotto utile e onesto del lavoro svolto.