記録タイマーのテープから台車の運動を読み取る
Aさんたちの班は、斜面の上に質量0.50 kgの力学台車を置いて静かに放し、記録タイマー(1秒間に50回打点する)で台車の運動を調べた。記録テープは5打点ごと(0.10秒ごと)に区切り、放した直後から順に区間の長さを測ると、2.0 cm、3.0 cm、4.0 cm、5.0 cm、6.0 cmであった。同じ実験を3回くり返しても、区間の長さはほぼ同じ値になった。記録テープは台紙にはりつけてから長さを測った。台車は放してから0.50秒後に斜面の下端に達し、そのまま水平な床の上をすべって、やがて止まった。斜面と台車の間の摩擦や空気の抵抗は無視できるが、床と台車の間には摩擦がある。斜面の傾きは実験中変えず、台車にはたらく重力の大きさは4.9 Nである。話し合いで、Bさんは「区間の長さが0.10秒ごとに1.0 cmずつ増えているので、台車の速さは0.10秒ごとに1.0 cm/sずつ増えている」とまとめた。Dさんは「0.40秒から0.50秒の区間は6.0 cmだから、0.45秒のときの速さは6.0 cm/sだ」と計算した。Cさんは「台車が床の上で止まったのは、台車にはたらく力がなくなったからだ」と述べ、床の上をすべっている間の台車にはたらく力を図に表す課題では、力を1つもかかなかった。
1. 0.20秒から0.30秒の区間について、(1)平均の速さ、(2)0.25秒のときの瞬間の速さ、(3)台車の加速度の大きさを求めよ。単位をつけて答え、それぞれの値の求め方も説明せよ。
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(1) 平均の速さ = 区間の長さ ÷ 時間 = 4.0 cm ÷ 0.10 s = 40 cm/s。 (2) 0.10 s という短い区間では、平均の速さは区間の中央の時刻における瞬間の速さにほぼ等しいとみなせる。区間の中央は0.25秒なので、瞬間の速さは 40 cm/s。 (3) 各0.10秒区間の中央の時刻(0.05、0.15、0.25、0.35、0.45秒)の速さは、20、30、40、50、60 cm/s となる。0.10秒ごとに10 cm/s ずつ速さが増えるので、加速度 = 10 cm/s ÷ 0.10 s = 100 cm/s²(1.0 m/s²)、向きは斜面に沿って下向き。 ポイントは、区間の長さ[cm]は「0.10秒間に進んだ距離」であり、速さ[cm/s]とは単位が違うこと。距離を時間で割る操作を必ず1回はさむ。
2. BさんとDさんの考え方は、それぞれどこが誤りか。正しい値を示して説明せよ。
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Bさん:区間の長さは0.10秒間に進んだ距離であって、速さそのものではない。速さは「長さ ÷ 0.10 s」で求めなければならず、実際の速さは20、30、40、50、60 cm/s と変化している。速さの増え方は0.10秒あたり10 cm/s(加速度100 cm/s²)であって、1.0 cm/s ではない。Bさんは「区間の長さの増加分1.0 cm」と「速さの増加分」を混同している。 Dさん:6.0 cm は0.10秒間の距離なので、速さ = 6.0 cm ÷ 0.10 s = 60 cm/s。0.10 s で割る操作が抜けている。また、この値は区間の中央である0.45秒の瞬間の速さとみなせる。 いずれも「距離をそのまま速さと読み替えてしまう」同じタイプの誤りで、単位を見れば気づける(cm と cm/s)。
3. Cさんの説明は正しいか。床の上をすべっている間の台車にはたらく力と、運動エネルギーの変化にふれて説明せよ。斜面の下端での台車の速さは0.60 m/sとする。
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Cさんの説明は誤り。力がはたらかなくなると、物体は等速直線運動を続ける(慣性の法則)。台車が止まったのは、運動の向きと逆向きに摩擦力がはたらき、合力が0でなくなったためである。 力を図に表すときは、下向きの重力(4.9 N)、床から上向きの垂直抗力、運動と逆向きの摩擦力の3つをかく。Cさんは摩擦力をかいておらず、これが「力がなくなった」という誤解につながっている。 斜面上端での運動エネルギーは 1/2 × 0.50 kg × (0.60 m/s)² = 0.090 J。床をすべる間に摩擦力が仕事をするため運動エネルギーはしだいに減り、その分は主に熱や音のエネルギーに変わる。力学的エネルギーが保存されるのは、摩擦が無視できる斜面上だけである。