鏡を使った校舎の高さの測定--相似の対応を間違えない
3年生の総合的な学習の時間に、校舎の高さを測る活動をした。校舎の壁は地面に垂直で、地面は水平である。巻尺で直接測ることはできないので、班では次の方法をとった。校舎の壁から15m離れた地面の点に鏡を平らに置き、その鏡から1.2m後ろの地点に立ったAさんの目に、鏡の中の校舎の屋上がちょうど映った。Aさんの目の高さは地面から1.44mである。鏡に映るとき、入射角と反射角は等しい。鏡は点とみなし、大きさや厚みは考えない。Aさんはどの地点に立っても目の高さは1.44mで変わらないものとする。班のBさんは「これで高さが分かるのか」と首をかしげ、Cさんは「相似を使うのだ」と説明した。測定の誤差は考えないものとする。また、Aさんが鏡から2.4m後ろに下がると、鏡には屋上より低い位置が映ることも分かった。班では、この方法で求めた校舎の高さを使って、地上から12mの高さにある3階の窓を鏡に映すには、鏡を壁から何mの位置に置けばよいかも調べることになった。
1. この方法で校舎の高さを求めなさい。どの三角形とどの三角形が相似であるかを明示し、対応する辺の比を書いて計算しなさい。
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三角形の設定 鏡の位置をM、Aさんの目の位置をE、Eの真下の地面の点をP、校舎の壁の真下の点をQ、屋上をFとする。
相似の根拠
- ∠PME = ∠QMF（入射角と反射角が等しい）
- ∠MPE = ∠MQF = 90°（地面は水平、壁は鉛直） 2組の角がそれぞれ等しいので △MPE ∽ △MQF。
対応辺 MP と MQ、PE と QF が対応する。 MP = 1.2 m、MQ = 15 m、PE = 1.44 m、QF = h（校舎の高さ）。
計算 1.2 : 15 = 1.44 : h 1.2h = 15×1.44 = 21.6 h = 18。
答え 校舎の高さは18m。比 15÷1.2 = 12.5 倍を目の高さにかけて 1.44×12.5 = 18 m としても同じ。
2. Aさんが鏡から2.4m後ろに下がると、鏡には屋上より低い位置が映る。このことから、鏡に映る位置の高さと、鏡からAさんまでの距離の関係を説明しなさい。
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関係の整理 相似比は「壁までの距離 : Aさんまでの距離」で決まる。校舎の高さ h は固定なので、相似の式は h : 目の高さ = (壁までの距離) : (Aさんまでの距離)。 h と目の高さが一定なら、(壁までの距離) : (Aさんまでの距離) は一定でなければならない。
Aさんが下がるとき Aさんまでの距離が1.2mから2.4mへ2倍になると、同じ比を保つには壁までの距離も2倍の30m必要になる。鏡の位置は15mのままなので比が変わり、映る高さは 1.44×(15÷2.4) = 9 m になる。屋上の18mより低い。
言えること Aさんが鏡から遠ざかるほど、鏡に映るのは低い位置になる。逆に近づくと高い位置が映る。鏡に屋上を映すには、距離の比を保つ位置に立つ必要がある。
3. 地上から12mの高さにある3階の窓を鏡に映したい。Aさんは鏡から1.2mの位置に立つとして、鏡を校舎の壁から何mの位置に置けばよいか求めなさい。
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相似の式を立てる 窓の高さを12m、壁から鏡までの距離を d m とする。相似の対応は 1.2 : d = 1.44 : 12。
計算 1.44d = 1.2×12 = 14.4 d = 10。
検算 比 d÷1.2 = 10÷1.2 = 25/3。目の高さ 1.44 × 25/3 = 1.44×25÷3 = 36÷3 = 12 m。窓の高さに一致する。
判断 屋上までの距離15mより手前の10mに鏡を置くことになる。窓は屋上より低いので、鏡は壁に近づく。これは「Aさんが同じ位置に立つなら、低い的ほど鏡は近くになる」という関係と一致する。
答え 壁から10mの位置。