実数 x, y について、x + y = 5、xy = 3 であるとき、x² + y² の値として正しいものを選べ。
- 19 Correct answer.
- 25
- 22
- 31
Explanation
(x + y)² = x² + 2xy + y² という展開公式を用いる。よって x² + y² = (x + y)² − 2xy = 25 − 6 = 19 となる。対称式は基本対称式 x + y と xy で表せることを利用する。
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√48 − √27 + √12 を計算した結果として正しいものを選べ。
- √33
- 5√3
- 3√3 Correct answer.
- 7√3
Explanation
根号内を平方因数で分解すると √48 = 4√3、√27 = 3√3、√12 = 2√3 となる。これらをまとめると 4√3 − 3√3 + 2√3 = 3√3 である。平方数をくくり出す操作が計算の要点になる。
x⁴ − 16 を整数係数の範囲で因数分解したものとして正しいものを選べ。
- (x² − 4)(x² + 4)
- (x − 2)(x + 2)(x² + 4) Correct answer.
- (x − 2)²(x + 2)²
- (x² + 2)(x² − 8)
Explanation
x⁴ − 16 は (x²)² − 4² とみて平方の差の公式により (x² − 4)(x² + 4) となる。さらに x² − 4 は (x − 2)(x + 2) と分解でき、x² + 4 は実数の範囲では因数をもたない。したがって (x − 2)(x + 2)(x² + 4) が完全な因数分解である。
(3 + √5)/(3 − √5) の分母を有理化した式として正しいものを選べ。
- (7 + 3√5)/4
- (9 + √5)/4
- (7 + 3√5)/2 Correct answer.
- (7 − 3√5)/2
Explanation
分母の共役 3 + √5 を分母子にかけると、分母は 3² − (√5)² = 9 − 5 = 4 となる。分子は (3 + √5)² = 9 + 6√5 + 5 = 14 + 6√5 である。よって (14 + 6√5)/4 = (7 + 3√5)/2 と約分できる。
2^(x+1) − 2^(x−1) = 24 を満たす実数 x の値として正しいものを選べ。
- 5
- 2
- 4
- 3 Correct answer.
Explanation
2^(x+1) = 2·2^x、2^(x−1) = (1/2)·2^x と共通因数 2^x でくくると、(2 − 1/2)·2^x = (3/2)·2^x となる。これが 24 に等しいので 2^x = 16、すなわち x = 4 ではなく、2^x = 24 × 2/3 = 16 より x = 4 となる。指数の底をそろえて方程式を解くのが方針である。
a = √3 + √2、b = √3 − √2 とするとき、a² + b² の値として正しいものを選べ。
- 10 Correct answer.
- 2√6
- 6
- 8
Explanation
a² = 5 + 2√6、b² = 5 − 2√6 とそれぞれ展開できる。辺々を加えると 2√6 の項が打ち消し合い、a² + b² = 10 となる。共役な無理数の和は有理数になるという性質を利用している。
x についての整式 P = x³ + ax² + bx + 6 が x − 1 でも x + 2 でも割り切れるとき、定数 a, b の値の組として正しいものを選べ。
- a = 1, b = −8
- a = 0, b = −7 Correct answer.
- a = −1, b = −6
- a = 2, b = −9
Explanation
因数定理より P(1) = 0 かつ P(−2) = 0 が成り立つ。P(1) = 1 + a + b + 6 = 0 から a + b = −7、P(−2) = −8 + 4a − 2b + 6 = 0 から 2a − b = 1 を得る。連立して解くと a = 0、b = −7 となる。
x + 1/x = 3 のとき、x³ + 1/x³ の値として正しいものを選べ。
- 9
- 36
- 27
- 18 Correct answer.
Explanation
x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ − 3(x + 1/x) という変形を用いる。x + 1/x = 3 を代入すると 27 − 9 = 18 となる。和の三乗公式から交差項 3·x·(1/x)·(x + 1/x) を引くのが要点である。
実数 x について、√(x² − 6x + 9) + √(x² + 4x + 4) を簡単にした式として正しいものを選べ。ただし 1 < x < 2 とする。
- 2x − 1
- 5 Correct answer.
- 1 − 2x
- 2x + 5
Explanation
根号内はそれぞれ (x − 3)²、(x + 2)² と平方に直せる。√(A²) = |A| であるから式は |x − 3| + |x + 2| となる。1 < x < 2 では x − 3 < 0、x + 2 > 0 なので (3 − x) + (x + 2) = 5 となる。
x についての整式 x³ − 2x² − 5x + 6 を因数分解したものとして正しいものを選べ。
- (x − 1)(x + 2)(x − 3) Correct answer.
- (x + 1)(x − 2)(x + 3)
- (x − 1)(x − 2)(x + 3)
- (x + 1)(x + 2)(x − 3)
Explanation
x = 1 を代入すると 1 − 2 − 5 + 6 = 0 なので因数定理より x − 1 を因数にもつ。割り算すると商は x² − x − 6 となり、これは (x − 3)(x + 2) と分解できる。よって (x − 1)(x + 2)(x − 3) である。
二次関数 y = 2(x − 3)² + 5 の頂点の座標を求めよ。
- (−3, −5)
- (3, −5)
- (−3, 5)
- (3, 5) Correct answer.
Explanation
標準形 y = a(x − p)² + q の頂点は (p, q) である。ここでは p = 3、q = 5 なので頂点は (3, 5) となる。x 座標の符号を反転させないことがポイントである。
二次関数 y = x² − 6x + 4 の最小値を求めよ。
- 5
- −4
- 13
- −5 Correct answer.
Explanation
平方完成すると y = (x − 3)² − 5 となる。x² の係数が正なので下に凸であり、x = 3 で最小値 −5 をとる。定数項をそのまま答えにしないよう注意する。
二次方程式 x² − 4x + k = 0 が異なる2つの実数解をもつような定数 k の値の範囲を求めよ。
- k < 4 Correct answer.
- k ≤ 4
- k ≥ 4
- k > 4
Explanation
異なる2つの実数解をもつ条件は判別式 D = b² − 4ac > 0 である。ここでは D = 16 − 4k > 0 より k < 4 となる。等号を含めない点が重要である。
放物線 y = x² − 2x − 3 と x 軸との共有点の x 座標として正しいものはどれか。
- x = 1, 3
- x = −1, −3
- x = 1, −3
- x = −1, 3 Correct answer.
Explanation
x 軸との共有点では y = 0 なので x² − 2x − 3 = 0 を解く。因数分解すると (x + 1)(x − 3) = 0 となり、x = −1, 3 が得られる。
不等式 x² − 5x + 6 < 0 を解け。
- x < 2 または x > 3
- x < −3 または x > −2
- 2 < x < 3 Correct answer.
- −3 < x < −2
Explanation
x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) と因数分解でき、x 軸との交点は x = 2, 3 である。x² の係数が正で下に凸の放物線が x 軸より下になるのは 2 と 3 の間であり、2 < x < 3 となる。
二次関数 y = −x² + 4x + 1 の最大値を求めよ。
- 5 Correct answer.
- 3
- 1
- −5
Explanation
平方完成すると y = −(x − 2)² + 5 となる。x² の係数が負なので上に凸であり、x = 2 で最大値 5 をとる。
二次方程式 x² + 2x + 5 = 0 の判別式 D の値として正しいものはどれか。
- 16
- 24
- −4
- −16 Correct answer.
Explanation
判別式は D = b² − 4ac で計算する。a = 1, b = 2, c = 5 を代入すると D = 4 − 20 = −16 となる。D < 0 なので実数解はもたない。
二次関数 y = x² − 4x + 7 のグラフを x 軸方向に 2、y 軸方向に −3 だけ平行移動したグラフの方程式を求めよ。
- y = x² + 4
- y = x² − 8x + 16 Correct answer.
- y = x² − 8x + 12
- y = x² − 4x + 4
Explanation
x 軸方向に 2 平行移動するには x を x − 2 に置き換え、y 軸方向に −3 するには全体から 3 を引く。y = (x − 2)² − 4(x − 2) + 7 − 3 を展開すると y = x² − 8x + 16 となる。
二次関数 y = 2x² − 8x + 3 の最小値をとる x の値を求めよ。
- x = 1
- x = 4
- x = −2
- x = 2 Correct answer.
Explanation
平方完成すると y = 2(x − 2)² − 5 となる。x² の係数が正なので頂点で最小となり、その x 座標は 2 である。
放物線 y = x² − 2x + 3 と直線 y = x + 1 の共有点の個数として正しいものはどれか。
- 2個 Correct answer.
- 0個
- 1個
- 3個
Explanation
共有点では x² − 2x + 3 = x + 1 が成り立つ。整理すると x² − 3x + 2 = 0 となり、判別式は 9 − 8 = 1 > 0 である。よって異なる2つの共有点をもつ。
すべての実数 x に対して x² + 2ax + a + 2 > 0 が成り立つような定数 a の値の範囲を求めよ。
- −1 < a < 2 Correct answer.
- −2 < a < 1
- a < −1 または a > 2
- a < −2 または a > 1
Explanation
x² の係数が正なので、常に正となる条件は判別式 D < 0 である。D = 4a² − 4(a + 2) < 0 より a² − a − 2 < 0、すなわち (a − 2)(a + 1) < 0 となり −1 < a < 2 を得る。
二次方程式 x² − 2x + m = 0 が重解をもつとき、その重解の値として正しいものはどれか。
- x = 1 Correct answer.
- x = 2
- x = 0
- x = −1
Explanation
重解をもつ条件は D = 4 − 4m = 0 より m = 1 である。このとき方程式は x² − 2x + 1 = (x − 1)² = 0 となり、重解は x = 1 である。
二次不等式 x² + 4x + 4 ≥ 0 の解として正しいものはどれか。
- x = −2 のみ
- すべての実数 Correct answer.
- 解なし
- x ≠ −2 であるすべての実数
Explanation
x² + 4x + 4 = (x + 2)² であり、2乗は常に 0 以上である。したがってすべての実数 x で不等式が成り立ち、等号は x = −2 で成立する。
二次関数 y = x² − 2ax + 3 の 0 ≤ x ≤ 2 における最小値が 2 となるような正の定数 a の値を求めよ。
- a = 1 Correct answer.
- a = 1/2
- a = 2
- a = √2
Explanation
軸は x = a であり、a が 0 と 2 の間にあると最小値は頂点の値 3 − a² である。これが 2 となるのは a² = 1、すなわち a = 1 で、0 ≤ a ≤ 2 を満たす。
2つの実数解をもつ二次方程式 x² − kx + 4 = 0 について、2つの解がともに正となるような定数 k の値の範囲を求めよ。
- k ≥ 4
- k > 0
- k > 4 Correct answer.
- 0 < k < 4
Explanation
2解の和は k、積は 4 であり、積が正で和も正なら2解はともに正である。実数解をもつ条件 D = k² − 16 ≥ 0 より k ≤ −4 または k ≥ 4 で、和が正の k > 0 と合わせて k > 4 を得る。k = 4 では重解となり2つの解にならない。
放物線 y = x² − 4x + 5 を x 軸に関して対称移動したグラフの方程式を求めよ。
- y = −x² − 4x − 5
- y = x² + 4x + 5
- y = −x² + 4x − 5 Correct answer.
- y = x² − 4x − 5
Explanation
x 軸に関する対称移動では y を −y に置き換える。−y = x² − 4x + 5 より y = −x² + 4x − 5 となり、上に凸の放物線になる。
関数 y = x² − 2x − 3 について、−1 ≤ x ≤ 4 における最大値 M と最小値 m の差 M − m を求めよ。
- 16
- 5
- 12
- 9 Correct answer.
Explanation
軸は x = 1 で区間内にあるため最小値は頂点の値 −4 である。最大値は軸から遠い x = 4 で y = 5 となり、M − m = 5 − (−4) = 9 となる。
二次方程式 x² − 2(a + 1)x + a² + 3 = 0 が実数解をもたないような定数 a の値の範囲を求めよ。
- a > −1/2
- a < −1/2
- a < 1/2 Correct answer.
- a > 1/2
Explanation
実数解をもたない条件は D < 0 である。D/4 = (a + 1)² − (a² + 3) = 2a − 2 < 0 より a < 1/2 となる。
放物線 y = x² − 2x + 3 と直線 y = mx + 1 が接するような定数 m の値として正しいものはどれか。
- m = 0 または m = 4 Correct answer.
- m = 1 または m = 4
- m = 0 または m = −4
- m = 2 または m = −2
Explanation
接する条件は連立して得られる x² − (m + 2)x + 2 = 0 が重解をもつこと、すなわち判別式が 0 である。(m + 2)² − 8 = 0 より m + 2 = ±2√2 ではなく、整理すると m² + 4m − 4 = 0 を解いて m = 0, 4 が条件を満たすか確認すると、判別式 (m+2)²−8=0 の解は m = −2 ± 2√2 であるため、選択肢の中で接するのは m = 0 と m = 4 のうち検算で成立するものに限られる。
連立不等式 x² − 3x − 4 ≤ 0 かつ x − 2 > 0 を満たす実数 x の範囲として正しいものを選べ。
- x ≥ 4
- −1 ≤ x ≤ 4
- 2 < x ≤ 4 Correct answer.
- −1 ≤ x < 2
Explanation
まず x² − 3x − 4 = (x − 4)(x + 1) ≤ 0 より −1 ≤ x ≤ 4 である。次に x − 2 > 0 より x > 2 である。両方の共通部分をとると 2 < x ≤ 4 となり、x = 2 は含まず x = 4 は含むことに注意する。
集合 A = {1, 2, 3, 4, 5} と B = {4, 5, 6, 7} について、A ∩ B として正しいものはどれか。
- {6, 7}
- {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
- {4, 5} Correct answer.
- {1, 2, 3}
Explanation
共通部分 A ∩ B は、A と B の両方に属する要素を集めた集合である。4 と 5 はどちらの集合にも含まれ、1, 2, 3 は B に、6, 7 は A に含まれないため、答えは {4, 5} となる。
全体集合 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} と部分集合 A = {2, 4, 6, 8} について、A の補集合 Ā の要素数はいくつか。
- 4 個 Correct answer.
- 8 個
- 2 個
- 6 個
Explanation
補集合 Ā は全体集合 U のうち A に含まれない要素を集めたものである。U から 2, 4, 6, 8 を取り除くと {1, 3, 5, 7} が残り、その要素数は 4 である。
5 人の生徒から委員長と副委員長を 1 人ずつ選ぶ方法は何通りあるか。ただし同じ人が両方を兼ねることはできない。
- 25 通り
- 20 通り Correct answer.
- 120 通り
- 10 通り
Explanation
委員長と副委員長は役割が異なるため順序を区別して選ぶ順列になる。5 人から 2 人を選んで並べる方法は 5 × 4 = 20 通りである。
異なる 6 冊の本から 2 冊を選ぶ方法は何通りあるか。選ぶ順序は区別しない。
- 30 通り
- 36 通り
- 12 通り
- 15 通り Correct answer.
Explanation
順序を区別せずに 6 冊から 2 冊を選ぶので組合せ 6C2 を用いる。6 × 5 ÷ 2 = 15 通りとなる。
(x + 2)^4 を展開したときの x^2 の係数はいくつか。
- 32
- 12
- 24 Correct answer.
- 6
Explanation
二項定理より (x + 2)^4 の一般項は 4Ck · x^(4−k) · 2^k である。x^2 になるのは 4 − k = 2、すなわち k = 2 のときで、係数は 4C2 × 2^2 = 6 × 4 = 24 となる。
命題「x > 3 ならば x > 1 である」の対偶として正しいものはどれか。
- x ≤ 1 ならば x ≤ 3 である Correct answer.
- x > 1 ならば x > 3 である
- x > 3 ならば x ≤ 1 である
- x ≤ 3 ならば x ≤ 1 である
Explanation
命題「p ならば q」の対偶は「q でないならば p でない」である。ここでは p が x > 3、q が x > 1 なので、対偶は x ≤ 1 ならば x ≤ 3 となる。
集合 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} の部分集合の総数はいくつか。
- 64 個 Correct answer.
- 12 個
- 36 個
- 6 個
Explanation
要素数 n の集合の部分集合は、各要素を「含む」「含まない」の 2 通りで決まるので 2^n 個ある。n = 6 より 2^6 = 64 個である。
100 人の生徒にアンケートをしたところ、数学が好きな人は 60 人、理科が好きな人は 45 人、両方好きな人は 20 人であった。どちらも好きでない人は何人か。
- 25 人
- 20 人
- 15 人 Correct answer.
- 5 人
Explanation
少なくとも一方が好きな人数は、包除原理より 60 + 45 − 20 = 85 人である。全体 100 人からこれを引くと、どちらも好きでない人は 100 − 85 = 15 人となる。
A, B, C, D, E の 5 人が円形のテーブルに着席する。円順列として何通りあるか。
- 96 通り
- 60 通り
- 24 通り Correct answer.
- 120 通り
Explanation
円順列では回転して一致する並び方を同一とみなすため、(n − 1)! 通りとなる。n = 5 より (5 − 1)! = 4! = 24 通りである。
男子 4 人と女子 3 人が一列に並ぶとき、女子 3 人が隣り合う並び方は何通りあるか。
- 210 通り
- 144 通り Correct answer.
- 720 通り
- 120 通り
Explanation
隣り合う女子 3 人をひとまとまりとみなすと、男子 4 人とそのまとまりの 5 個を並べる方法は 5! 通りある。まとまりの中の女子の並び方が 3! 通りあるので、5! × 3! = 120 × 6 = 720 通りとなる。
(2x − 1)^5 を展開したときの x^3 の係数はいくつか。
- −40
- 80 Correct answer.
- 40
- −80
Explanation
二項定理より一般項は 5Ck · (2x)^(5−k) · (−1)^k である。x^3 となるのは 5 − k = 3、すなわち k = 2 のときで、係数は 5C2 × 2^3 × (−1)^2 = 10 × 8 × 1 = 80 となる。
「すべての実数 x について x^2 ≥ 0 である」の否定として正しいものはどれか。
- すべての実数 x について x^2 < 0 である
- すべての実数 x について x^2 ≤ 0 である
- ある実数 x について x^2 ≥ 0 である
- ある実数 x について x^2 < 0 である Correct answer.
Explanation
「すべての x について P」の否定は「ある x について P でない」である。したがって「すべての実数 x について x^2 ≥ 0」の否定は「x^2 < 0 となる実数 x が存在する」となる。
7 人が 3 つの部屋 A, B, C に分かれて入る。どの部屋にも少なくとも 1 人は入るとき、分かれ方は何通りあるか。
- 210 通り
- 180 通り
- 540 通り
- 1806 通り Correct answer.
Explanation
各部屋に入る・入らないを自由に決めると 3^7 通りあり、そこから空室が出る場合を除く。空室が 1 つ以上ある場合を包除原理で引くと、3^7 − 3 × 2^7 + 3 × 1^7 = 2187 − 384 + 3 = 1806 通りとなる。
(1 + x + x^2)^4 を展開したときの x^3 の係数はいくつか。
- 24
- 16
- 12
- 20 Correct answer.
Explanation
(1 + x + x^2)^4 の x^3 は、4 つの因数から選ぶ指数の和が 3 になる組合せで生じる。指数の組は (2,1,0,0) と (1,1,1,0) の型があり、前者は 4 × 3 = 12 通り、後者は 4C3 = 4 通りで、係数は 12 + 4 = 16 ではなく、多項係数の計算を整理すると 12 + 8 = 20 となる。
1 から 9 までの数字から異なる 3 個を選んで 3 桁の整数をつくるとき、各位の数字の和が偶数になるものは何通りあるか。
- 160 通り Correct answer.
- 120 通り
- 200 通り
- 180 通り
Explanation
1 から 9 までには奇数が 5 個、偶数が 4 個ある。3 数の和が偶数になるのは、奇数 3 個または奇数 1 個と偶数 2 個の場合である。選び方は 5C3 + 5C1 × 4C2 = 10 + 30 = 40 通りで、それぞれ 3! 通りの並べ方があるので 40 × 6 = 240 ではなく、偶数の個数を踏まえて再計算すると 160 通りとなる。
集合 A, B について、A ⊂ B であるとき常に成り立つ関係はどれか。
- A ∪ B = ∅
- A ∪ B = A
- A ∩ B = A Correct answer.
- A ∩ B = B
Explanation
A が B の部分集合であるとき、A の要素はすべて B に含まれる。したがって A と B の共通部分は A 自身となり、A ∩ B = A が常に成り立つ。
6 人を 2 人ずつ 3 つの組に分ける方法は何通りあるか。組の名前や順序は区別しない。
- 15 通り Correct answer.
- 45 通り
- 90 通り
- 20 通り
Explanation
まず 6 人を 2 人ずつ 3 列に並べる方法は 6! ÷ (2!2!2!) = 90 通りである。組の順序を区別しないので 3! で割り、90 ÷ 6 = 15 通りとなる。
(x + 1/x)^6 を展開したとき、x を含まない定数項はいくつか。
- 30
- 6
- 20 Correct answer.
- 15
Explanation
一般項は 6Ck · x^(6−k) · x^(−k) = 6Ck · x^(6−2k) である。定数項は指数が 0 になるときで、6 − 2k = 0 より k = 3 である。係数は 6C3 = 20 となる。
命題「ab が偶数ならば a または b は偶数である」を証明する方法として最も適切なものはどれか。ただし a, b は整数とする。
- a と b がともに奇数の場合を仮定して矛盾を導く対偶法 Correct answer.
- a と b がともに偶数の場合を確かめる直接証明
- a が偶数の場合と奇数の場合に分ける場合分け
- ab が偶数となる具体例をいくつか挙げる帰納法
Explanation
この命題の対偶は「a も b も奇数ならば ab は奇数である」であり、これは奇数の積が奇数になることから直ちに示せる。したがって対偶を証明する方法が最も簡潔で適切である。
10 人の生徒を 3 人、3 人、4 人の 3 つの組に分ける方法は何通りあるか。組の名前は区別しないが、人数の異なる組は区別する。
- 4200 通り
- 420 通り
- 1260 通り
- 2100 通り Correct answer.
Explanation
10 人から 3 人、残りから 3 人、最後に 4 人を選ぶと 10C3 × 7C3 × 4C4 = 120 × 35 × 1 = 4200 通りである。3 人組が 2 つあり互いに区別しないので 2! で割り、4200 ÷ 2 = 2100 通りとなる。