文化祭パネルの余白--二次方程式の解を吟味する
3年生の文化祭の展示で、縦90cm、横120cmの長方形のパネルを1枚使うことになった。パネルの面積は 90×120 = 10800cm² である。このパネルの中央に写真を1枚貼り、写真のまわりには上下左右とも同じ幅 x cm の余白を残す。パネルは体育館の壁に直接とりつけるので、写真の位置を動かすことはできない。実行委員からは「写真の面積がパネル全体の面積のちょうど半分になるようにしてほしい」という条件が出ている。写真はパネルと同じ向きに貼るものとし、写真の縦の長さは 90−2x、横の長さは 120−2x と表せる。制作担当のAさんは x の方程式を立てて解き、x=15 と x=90 の2つの値が出た。Bさんは「解が2つ出たら、どちらでもよいのではないか」と言ったが、Cさんは「片方は使えない」と指摘した。余白の幅はものさしで測って決めるので、実際には整数cmで考える。また、Aさんは「写真とパネルが相似になるように余白をとれないか」とも考え、上下の余白と左右の余白の幅を変えることも検討している。
1. 写真の面積がパネルの面積の半分になるとして、x の方程式を立てて解き、余白の幅を求めなさい。
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立式 パネルの面積は 90×120 = 10800 cm²。その半分は 5400 cm²。 写真の縦は 90−2x、横は 120−2x なので (90−2x)(120−2x) = 5400。
展開して整理 10800 − 180x − 240x + 4x² = 5400 4x² − 420x + 5400 = 0 両辺を4で割って x² − 105x + 1350 = 0。
因数分解 積が1350、和が105になる2数は 15 と 90。 (x − 15)(x − 90) = 0 より x = 15、x = 90。
答え（吟味の前段階） 解は x=15 と x=90 の2つ。
2. Bさんは「解が2つ出たらどちらでもよい」と言ったが、Cさんは「片方は使えない」と指摘した。x=90 が適さない理由を、写真の縦と横の長さを実際に計算して説明しなさい。
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x=90 を代入する 写真の縦 90−2×90 = 90−180 = −90 cm 写真の横 120−2×90 = 120−180 = −60 cm
判断 長さが負になるので、写真として存在しない。面積の計算だけを見ると (90−180)(120−180) = (−90)(−60) = 5400 となり条件を満たしてしまうが、これは「負の長さどうしを掛けた」だけで、図形としては意味をもたない。
x=15 の確認 縦 90−30 = 60 cm、横 120−30 = 90 cm、面積 60×90 = 5400 cm²。パネルに収まっており適する。
変域の確認 縦が正であるためには 90−2x > 0 より x < 45。横からは x < 60。両方を満たす x の変域は 0 < x < 45 で、x=15 はこの範囲に入り、x=90 は入らない。
答え 余白の幅は15cm。x=90 は変域 0<x<45 を満たさないため不適。
3. ここでは先の「面積が半分」という条件とは別に、写真とパネルの相似だけを考える。Aさんは、写真とパネルが相似になるように余白をとれないかと考えている。上下の余白を x cm、左右の余白を y cm とするとき、x と y の関係を求めなさい。また、上下左右を同じ幅にすると相似にならない理由も述べなさい。
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相似条件の立式 パネルの縦横比は 90:120 = 3:4。 写真の縦は 90−2x、横は 120−2y なので、相似になるには (90−2x):(120−2y) = 3:4。
比を解く 4(90−2x) = 3(120−2y) 360 − 8x = 360 − 6y −8x = −6y y = (4/3)x。
確認 x=15 のとき y=20。写真は縦60cm、横80cmで 60:80 = 3:4 となり相似。
同じ幅にすると相似にならない理由 上下にも左右にも同じ x だけ削ると、縦は 2x、横も 2x 削られる。もとの比が 3:4 なのに、両方から同じ長さを引くと比は変わってしまう。実際 x=15 では 60:90 = 2:3 となり、3:4 とは異なる。縦と横で削る量の比を 3:4 に合わせる、すなわち左右の余白を上下の 4/3 倍にする必要がある。