受付係の決め方--「同様に確からしい」を確かめる
2年生のクラスで、文化祭の受付係を3人の中から1人だけ決めることになった。受付係は1人だけ必要で、残りの2人は案内係を担当する。3人はAさん、Bさん、Cさんである。Aさんはさいころを1個使う方法を提案した。「1か2の目が出たらA、3か4の目が出たらB、5か6の目が出たらCにする」という案である。Bさんは「それでいい」と言ったが、Cさんは「6が出たときは投げ直したい」と言い出した。そこで、「1か2ならA、3か4ならB、5ならC、6ならもう一度投げ、その結果で1か2ならA、3か4ならB、5ならC、6ならさらに投げ直す」という方法に決まりかけた。クラスには、ほかにも「さいころを2個同時に投げて、出た目の和で決める」という案も出ている。さいころの目はどれも同じ程度に出やすく、1回1回の投げ方は独立であるとする。Cさんの案に納得していないBさんは、「この方法だと3人の確率は等しくならないのではないか」と疑問を持ち、クラス全体で確率を計算して確かめることになった。
1. Aさんの最初の案（1か2でA、3か4でB、5か6でC）が公平である理由を、「同様に確からしい」という言葉を使って説明しなさい。
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同様に確からしいとは 起こり得る場合がどれも同じ程度に期待できるとき、それらは「同様に確からしい」という。さいころの1〜6の目は、どの目も同じ程度に出やすいとされているので、6通りの目は同様に確からしい。
確率の計算
- Aになるのは1、2の2通り → 2/6 = 1/3
- Bになるのは3、4の2通り → 2/6 = 1/3
- Cになるのは5、6の2通り → 2/6 = 1/3
判断 3人とも確率が1/3で等しい。したがってこの決め方は公平である。
注意点 「2通りずつだから公平」ではなく、「6通りの目が同様に確からしく、かつ各人に2通りずつ割り当てられているから公平」であることが要点。目の出方に偏りがあれば、この理由は成り立たない。
2. Cさんの案（6が出たら投げ直す方法）で、Cさんが受付係になる確率を求めなさい。また、Aさん・Bさんの確率も求めて、この方法が公平かどうかを判断しなさい。
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1回で決まる場合 1回目に5が出ればC。確率は 1/6。
6が出て持ち越す場合 1回目に6が出る確率は 1/6。このとき同じ条件でやり直すので、そこでCになる確率は再び p（求める確率）である。 よって p = 1/6 + (1/6)p。
解く p − (1/6)p = 1/6 (5/6)p = 1/6 p = 1/5。
別の見方 「6以外が出るまで投げ続ける」と考えると、最後に出る目は1〜5のどれかで、これらは同様に確からしい。Cになるのは5が出るときだけなので 1/5。
A・Bについて 同様に、Aは1か2なので 2/5、Bは3か4なので 2/5。合計 1/5+2/5+2/5 = 1 で確率の和も正しい。
判断 1/5、2/5、2/5 で等しくない。Cさんの案は不公平で、Cさんだけ不利になる。
3. さいころを2個同時に投げ、出た目の和で3人を公平に分ける方法を1つ考え、3人とも確率が1/3になることを説明しなさい。
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案 2個のさいころの目の和を3で割った余りで分ける。
- 和が3の倍数（3、6、9、12）→ A
- 和を3で割って1余る（4、7、10）→ B
- 和を3で割って2余る（2、5、8、11）→ C
場合の数 目の出方は 6×6 = 36 通りで、どれも同様に確からしい。
- 和3：(1,2)(2,1) の2通り、和6：5通り、和9：4通り、和12：1通り → 2+5+4+1 = 12通り
- 和4：3通り、和7：6通り、和10：3通り → 3+6+3 = 12通り
- 和2：1通り、和5：4通り、和8：5通り、和11：2通り → 1+4+5+2 = 12通り
確率 12/36 = 1/3 ずつ。3人とも1/3で公平。
別案 和が偶数か奇数かでは2人しか分けられないので、3人に分けるには上の方法のように36通りを12通りずつに分ける工夫が要る。36が3で割り切れることを利用している点が要点。