兄と弟の追いかけ--出発時刻を変えたときに追いつけるか
兄と弟が、家から1800m離れた駅へ向かう。弟は8時00分に家を出て、分速80mの一定の速さで歩いて駅へ向かった。兄は8時05分に家を出て、自転車に乗って分速240mの一定の速さで弟を追いかけた。兄の自転車の速さは弟の歩く速さの3倍である。兄は駅に着くとそのまま駅前で待ち、弟が来るのを待つ。家から駅までの道は一直線で、信号や坂はなく、二人の速さは途中で変わらないものとする。弟は「兄ちゃんは途中で追い抜いていくはずだ」と言い、兄は「駅に着くまでに追いつけるかどうか、計算してみよう」と答えた。弟は家を出てから駅に着くまでに何分かかるかを暗算しようとしたが、分速80mで1800mを進むときの計算で迷ってしまった。母は「もし兄の出発が8時15分になっていたら、二人は駅でばらばらになってしまうのではないか」と心配している。兄は駅に着いてから弟を待つ間に、駅前の時計で時刻を確かめるつもりでいる。駅前の時計は正しく動いているものとする。二人は、兄が出発する時刻を変えたときに追いつく場所がどう変わるかを、家を出てから x 分後の位置という考え方でまとめることにした。
1. 兄が8時05分に家を出るとき、兄が弟に追いつく時刻と、その地点は家から何mのところか求めなさい。
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考え方 兄が出発した時点で、弟はすでに5分歩いている。 弟の先行距離は 80×5 = 400 m。 1分間に縮まる差は 240−80 = 160 m。
時間 400 ÷ 160 = 2.5 分。 兄の出発は8時05分なので、追いつく時刻は8時07分30秒。
位置 兄が進んだ距離 240×2.5 = 600 m。 検算：弟は出発から 5+2.5 = 7.5 分歩いて 80×7.5 = 600 m。一致する。
答え 8時07分30秒、家から600mの地点。駅まで1800mなので、駅に着く前にはっきり追いつける。
2. 兄が駅に着いてから弟が駅に着くまで、兄は何分待つことになるか求めなさい。
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兄が駅に着く時刻 1800 ÷ 240 = 7.5 分。8時05分の7.5分後だから8時12分30秒。
弟が駅に着く時刻 1800 ÷ 80 = 22.5 分。8時00分の22.5分後だから8時22分30秒。
待ち時間 8時22分30秒 − 8時12分30秒 = 10 分。
別の求め方 兄が出発した8時05分の時点で弟は400m進んでおり、残りは1400m。弟はこれを 1400÷80 = 17.5 分で進む。兄は 7.5 分で駅に着くので、差は 17.5 − 7.5 = 10 分。同じ結果になる。
答え 10分待つ。
3. 兄の出発が8時15分に変わった場合、兄は弟に追いつくことができるか。追いつく時刻と場所を求め、母の心配が当たるかどうかを判断しなさい。
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8時15分の時点の弟 8時00分から15分歩いているので 80×15 = 1200 m。駅まで残り 600 m。
追いつく時刻 兄が出発して t 分後に追いつくとすると、位置が等しいことから 240t = 1200 + 80t 160t = 1200 t = 7.5 分。
位置と時刻 240×7.5 = 1800 m。これは駅そのものである。時刻は8時22分30秒で、弟が駅に着く時刻と完全に一致する。
判断 追いつく地点が駅なので、「駅に着く前に追い抜く」ことはできない。しかし二人は同じ時刻に駅へ着くので、母が心配した「駅でばらばらになる」ことは起こらない。出発がさらに遅い場合に駅で会えるかどうかは、弟が到着後に待つかなどの追加条件が必要であり、この設定だけでは決められない。