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Kumamoto Entrance Science practice questions

One question at a time. Build your Kumamoto Entrance Science understanding.

First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

関数 f(x) = x³ − 3x の極値を調べたとき、正しい記述はどれか。

  1. 極値をもたず、単調に増加する
  2. x = −1 で極小値 −2、x = 1 で極大値 2 をとる
  3. x = 0 で極大値 0 をとり、極小値は存在しない
  4. x = −1 で極大値 2、x = 1 で極小値 −2 をとる Correct answer.

Explanation

f'(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1) であり、増減表より x = −1 の前後で符号が正から負に変わるため極大、x = 1 で負から正に変わるため極小となる。f(−1) = −1 + 3 = 2、f(1) = 1 − 3 = −2 である。

Question 2Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

等差数列 {aₙ} が a₃ = 7、a₇ = 19 を満たすとき、初項 a₁ と公差 d の組はどれか。

  1. a₁ = 3、d = 2
  2. a₁ = −2、d = 3
  3. a₁ = 4、d = 1.5
  4. a₁ = 1、d = 3 Correct answer.

Explanation

a₇ − a₃ = 4d より 19 − 7 = 12 なので d = 3 である。a₃ = a₁ + 2d = a₁ + 6 = 7 より a₁ = 1 となる。

Question 3Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

log₂ 8 + log₃ (1/9) の値を求めよ。

  1. 5
  2. −1
  3. 1 Correct answer.
  4. 3

Explanation

log₂ 8 = 3 であり、log₃ (1/9) = log₃ 3⁻² = −2 である。したがって和は 3 + (−2) = 1 となる。

Question 4Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

sin 15° の値を半角の公式を用いて求めたものはどれか。

  1. (√6 + √2)/4
  2. (√2 − 1)/2
  3. (√6 − √2)/4 Correct answer.
  4. (√3 − 1)/2

Explanation

sin²15° = (1 − cos30°)/2 = (1 − √3/2)/2 = (2 − √3)/4 である。sin15° > 0 より sin15° = √(2 − √3)/2 = (√6 − √2)/4 となる。

Question 5Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

円 x² + y² = 25 上の点 (3, 4) における接線の方程式はどれか。

  1. x + y = 7
  2. 4x + 3y = 25
  3. 3x + 4y = 25 Correct answer.
  4. 3x − 4y = 25

Explanation

円 x² + y² = r² 上の点 (a, b) における接線は ax + by = r² である。a = 3、b = 4、r² = 25 を代入して 3x + 4y = 25 を得る。

Question 6Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

ベクトル a = (2, −1)、b = (1, 3) について、a と b のなす角を θ とするとき cos θ の値はどれか。

  1. 1/√10
  2. −1/(5√2) Correct answer.
  3. 1/(5√2)
  4. −1/√10

Explanation

内積は 2·1 + (−1)·3 = −1 である。|a| = √5、|b| = √10 より cos θ = −1/(√5·√10) = −1/(5√2) となる。

Question 7Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

不定積分 ∫ (3x² − 4x + 1) dx を求めよ。ただし C は積分定数とする。

  1. x³ − 4x² + x + C
  2. 6x − 4 + C
  3. 3x³ − 2x² + x + C
  4. x³ − 2x² + x + C Correct answer.

Explanation

各項を積分すると ∫3x²dx = x³、∫(−4x)dx = −2x²、∫1dx = x となる。よって x³ − 2x² + x + C である。

Question 8Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

複素数 z = 1 + √3 i を極形式で表したものはどれか。ただし偏角は 0 以上 2π 未満とする。

  1. √3(cos π/3 + i sin π/3)
  2. 2(cos π/3 + i sin π/3) Correct answer.
  3. 4(cos π/3 + i sin π/3)
  4. 2(cos π/6 + i sin π/6)

Explanation

絶対値は √(1 + 3) = 2 である。偏角は cos θ = 1/2、sin θ = √3/2 を満たす θ = π/3 である。よって 2(cos π/3 + i sin π/3) となる。

Question 9Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

6 人を 3 人ずつの 2 つのグループに分ける方法は何通りあるか。ただしグループの区別はしない。

  1. 20 通り
  2. 40 通り
  3. 10 通り Correct answer.
  4. 120 通り

Explanation

6 人から 3 人を選ぶと残りは自動的に決まるので C(6,3) = 20 通りである。グループの区別がないため 2! で割って 20/2 = 10 通りとなる。

Question 10Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

方程式 2^(x+1) = 8^(x−1) を解け。

  1. x = 3
  2. x = 1
  3. x = 2 Correct answer.
  4. x = 4/3

Explanation

両辺を底 2 で表すと 2^(x+1) = 2^(3(x−1)) となる。指数を比較して x + 1 = 3x − 3、すなわち 2x = 4 より x = 2 である。

Question 11Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

微分係数の定義に基づき、f(x) = x² の x = 3 における微分係数 f'(3) を求めよ。

  1. 3
  2. 6 Correct answer.
  3. 9
  4. 2

Explanation

f'(3) = lim(h→0){(3+h)² − 9}/h = lim(h→0)(6h + h²)/h = 6 である。一般に (x²)' = 2x なので x = 3 で 6 となる。

Question 12Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

0 ≤ θ < 2π の範囲で、方程式 2sin²θ − sinθ − 1 = 0 を満たす θ の個数はいくつか。

  1. 3 個 Correct answer.
  2. 2 個
  3. 4 個
  4. 1 個

Explanation

sinθ = t とおくと 2t² − t − 1 = (2t + 1)(t − 1) = 0 より t = 1 または t = −1/2 である。sinθ = 1 から θ = π/2 が 1 個、sinθ = −1/2 から θ = 7π/6、11π/6 が 2 個で、合計 3 個となる。

Question 13Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

座標平面上の 2 点 A(1, 2)、B(4, 6) を結ぶ線分 AB を 2:1 に内分する点の座標はどれか。

  1. (5/2, 4)
  2. (2, 10/3)
  3. (3, 4)
  4. (3, 14/3) Correct answer.

Explanation

内分点の公式より x = (1·1 + 4·2)/(2 + 1) = 9/3 = 3、y = (2·1 + 6·2)/3 = 14/3 である。よって (3, 14/3) となる。

Question 14Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

定積分 ∫₀¹ (3x² + 2x) dx の値を求めよ。

  1. 3
  2. 1
  3. 5
  4. 2 Correct answer.

Explanation

原始関数は x³ + x² である。x = 1 で 2、x = 0 で 0 なので定積分の値は 2 − 0 = 2 となる。

Question 15Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

2 次方程式 x² − 2x + 3 = 0 の 2 つの解を α、β とするとき、α² + β² の値はどれか。

  1. 4
  2. 10
  3. −2 Correct answer.
  4. 2

Explanation

解と係数の関係より α + β = 2、αβ = 3 である。α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 4 − 6 = −2 となる。判別式が負なので解は虚数であり、実数の範囲では負の値も起こりうる。

Question 16Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

媒介変数表示 x = 2cos t、y = 3sin t（0 ≤ t < 2π）が表す曲線として正しいものはどれか。

  1. 楕円 x²/4 + y²/9 = 1 Correct answer.
  2. 双曲線 x²/4 − y²/9 = 1
  3. 円 x² + y² = 13
  4. 放物線 y = (3/2)x²

Explanation

cos t = x/2、sin t = y/3 と変形し、cos²t + sin²t = 1 に代入すると x²/4 + y²/9 = 1 を得る。長軸・短軸が座標軸に平行な楕円である。

Question 17Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

関数 f(x) = x³ − 3x² + 4 のグラフについて、変曲点の座標はどれか。

  1. (1, 2) Correct answer.
  2. (2, 0)
  3. (0, 4)
  4. (1, 0)

Explanation

f'(x) = 3x² − 6x、f''(x) = 6x − 6 である。f''(x) = 0 より x = 1 で、この前後で凹凸が変わるので変曲点である。f(1) = 1 − 3 + 4 = 2 より (1, 2) となる。

Question 18Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

複素数平面上で、点 z が |z − 1| = 2 を満たすとき、z の表す図形はどれか。

  1. 原点を中心とする半径 2 の円
  2. 点 1 を中心とする半径 4 の円
  3. 点 1 を中心とする半径 2 の円 Correct answer.
  4. 点 −1 を中心とする半径 2 の円

Explanation

|z − 1| は点 z と点 1 の距離を表す。これが常に 2 であるという条件は、点 1 を中心とし半径 2 の円を表す。

Question 19Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

数列 {aₙ} が a₁ = 1、aₙ₊₁ = 2aₙ + 1 で定まるとき、一般項 aₙ はどれか。

  1. aₙ = 2ⁿ + 1
  2. aₙ = 2ⁿ − 1 Correct answer.
  3. aₙ = 2ⁿ⁺¹ − 1
  4. aₙ = 2ⁿ⁻¹ − 1

Explanation

漸化式を aₙ₊₁ + 1 = 2(aₙ + 1) と変形すると、{aₙ + 1} は初項 2、公比 2 の等比数列である。よって aₙ + 1 = 2ⁿ より aₙ = 2ⁿ − 1 となる。

Question 20Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

関数 f(x) = x + 4/x（x > 0）の最小値を相加平均・相乗平均の関係を用いて求めよ。

  1. 2
  2. 8
  3. 4 Correct answer.
  4. 5

Explanation

x > 0 より x + 4/x ≥ 2√(x·4/x) = 2√4 = 4 である。等号は x = 4/x、すなわち x = 2 のとき成り立つので最小値は 4 となる。

Question 21Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

3 次方程式 x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 の解の集合として正しいものはどれか。

  1. {−1, −2, −3}
  2. {1, 2, −3}
  3. {1, 2, 3} Correct answer.
  4. {0, 2, 3}

Explanation

x = 1 を代入すると 1 − 6 + 11 − 6 = 0 なので x − 1 を因数にもつ。組立除法で (x − 1)(x² − 5x + 6) = (x − 1)(x − 2)(x − 3) となり、解は 1, 2, 3 である。

Question 22Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

曲線 y = x³ − 3x と x 軸で囲まれた 2 つの部分の面積の和を求めよ。

  1. 3
  2. 27/4
  3. 9/4
  4. 9/2 Correct answer.

Explanation

x³ − 3x = x(x² − 3) より x 軸との交点は −√3、0、√3 である。対称性より面積は 2∫₀^√3 |x³ − 3x| dx で、0 ≤ x ≤ √3 では負なので 2∫₀^√3 (3x − x³) dx = 2[3x²/2 − x⁴/4]₀^√3 = 2(9/2 − 9/4) = 9/2 となる。

Question 23Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

袋の中に赤玉 3 個、白玉 2 個が入っている。この袋から同時に 2 個取り出すとき、取り出した玉が同じ色である確率はどれか。

  1. 2/5 Correct answer.
  2. 1/2
  3. 1/5
  4. 3/10

Explanation

全事象は C(5,2) = 10 通りである。同じ色となるのは赤 2 個の C(3,2) = 3 通りと白 2 個の C(2,2) = 1 通りで計 4 通り。確率は 4/10 = 2/5 となる。

Question 24Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

関数 f(x) = x³ − 3x² + 2 について、区間 −1 ≤ x ≤ 3 における最大値と最小値の組はどれか。

  1. 最大値 −2、最小値 −18
  2. 最大値 2、最小値 0
  3. 最大値 2、最小値 −2 Correct answer.
  4. 最大値 2、最小値 −18

Explanation

f'(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2) より停留点は x = 0, 2 である。f(−1) = −2、f(0) = 2、f(2) = −2、f(3) = 2 を比較すると最大値 2、最小値 −2 となる。

Question 25Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

数列 aₙ = n·2ⁿ（n = 1, 2, 3, …）の初項から第 n 項までの和 Sₙ を求めよ。

  1. Sₙ = (n − 1)2ⁿ⁺¹ + 2 Correct answer.
  2. Sₙ = (n + 1)2ⁿ − 2
  3. Sₙ = n(n + 1)2ⁿ⁻¹
  4. Sₙ = n·2ⁿ⁺¹ + 2

Explanation

Sₙ = Σk·2ᵏ とし、2Sₙ との差をとると Sₙ = −2 − 2² − … − 2ⁿ + n·2ⁿ⁺¹ となる。等比部分の和を整理して Sₙ = (n − 1)2ⁿ⁺¹ + 2 を得る。n = 1 で 2、n = 2 で 10 となり実際の和と一致する。

Question 26Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

2 次関数 y = 2x² − 8x + 5 のグラフの頂点の座標はどれか。

  1. (−2, −3)
  2. (2, −3) Correct answer.
  3. (4, −3)
  4. (2, 5)

Explanation

平方完成すると y = 2(x² − 4x) + 5 = 2(x − 2)² − 8 + 5 = 2(x − 2)² − 3 となる。よって頂点は (2, −3) である。x 座標は −b/(2a) = 8/4 = 2 としても求められる。

Question 27Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

不等式 |2x − 5| < 3 を満たす整数 x の個数はいくつか。

  1. 4 個
  2. 2 個
  3. 5 個
  4. 3 個 Correct answer.

Explanation

|2x − 5| < 3 は −3 < 2x − 5 < 3 と同値で、各辺に 5 を加えて 2 < 2x < 8、2 で割って 1 < x < 4 となる。これを満たす整数は x = 2, 3 の 2 個である。

Question 28Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

sin 15° の値として正しいものはどれか。

  1. (√2 − √6)/4
  2. (√6 + √2)/4
  3. (√6 − √2)/4 Correct answer.
  4. (√3 − 1)/2

Explanation

15° = 45° − 30° とみて加法定理 sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β を用いる。sin45°cos30° − cos45°sin30° = (√2/2)(√3/2) − (√2/2)(1/2) = (√6 − √2)/4 となる。

Question 29Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

等差数列 {aₙ} が a₃ = 7、a₇ = 19 を満たすとき、初項 a₁ の値はどれか。

  1. 4
  2. 2
  3. 1 Correct answer.
  4. 3

Explanation

公差を d とすると a₇ − a₃ = 4d = 12 より d = 3 である。a₃ = a₁ + 2d = a₁ + 6 = 7 なので a₁ = 1 となる。

Question 30Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

3 個のさいころを同時に投げるとき、出る目の積が偶数となる確率はどれか。

  1. 1/2
  2. 7/8 Correct answer.
  3. 3/8
  4. 1/8

Explanation

積が奇数になるのは 3 個すべてが奇数の目（1, 3, 5）のときで、その確率は (1/2)³ = 1/8 である。余事象を考えて、積が偶数になる確率は 1 − 1/8 = 7/8 となる。

Question 31Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

点 (1, 2) を通り、直線 y = 3x − 1 に垂直な直線の方程式はどれか。

  1. y = (1/3)x + 5/3
  2. y = 3x − 1
  3. y = −(1/3)x + 7/3 Correct answer.
  4. y = −3x + 5

Explanation

垂直な直線の傾きはもとの傾きの逆数の符号を変えた −1/3 である。点 (1, 2) を通るので y − 2 = −(1/3)(x − 1)、整理して y = −(1/3)x + 7/3 となる。

Question 32Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

log₂ 12 − log₂ 3 の値はどれか。

  1. 2 Correct answer.
  2. 4
  3. 9
  4. 1

Explanation

対数の差は商の対数になるので log₂ 12 − log₂ 3 = log₂ (12/3) = log₂ 4 である。log₂ 4 = 2 となる。

Question 33Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

関数 f(x) = x³ − 3x の極大値を与える x の値はどれか。

  1. x = 1
  2. x = 3
  3. x = −1 Correct answer.
  4. x = 0

Explanation

f'(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1) であり、f'(x) = 0 となるのは x = ±1 である。増減表を書くと x = −1 で極大、x = 1 で極小となる。

Question 34Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

関数 y = sin(2x − π/3) の周期として正しいものはどれか。

  1. π Correct answer.
  2. 2π/3
  3. 2π
  4. π/3

Explanation

sin(kx + c) の周期は 2π/|k| で与えられる。ここでは k = 2 なので周期は 2π/2 = π である。位相のずれ π/3 は周期に影響しない。

Question 35Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

(x + 2)⁵ を展開したときの x³ の係数はどれか。

  1. 80
  2. 20
  3. 40 Correct answer.
  4. 10

Explanation

二項定理より (x + 2)⁵ の一般項は ₅Cₖ x^(5−k) 2^k である。x³ になるのは 5 − k = 3、すなわち k = 2 のときで、係数は ₅C₂ · 2² = 10 · 4 = 40 となる。

Question 36Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

円 x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0 の中心と半径の組として正しいものはどれか。

  1. 中心 (−2, 3)、半径 4
  2. 中心 (2, −3)、半径 4 Correct answer.
  3. 中心 (2, −3)、半径 16
  4. 中心 (−2, 3)、半径 √7

Explanation

平方完成すると (x − 2)² − 4 + (y + 3)² − 9 − 3 = 0、すなわち (x − 2)² + (y + 3)² = 16 となる。よって中心は (2, −3)、半径は √16 = 4 である。

Question 37Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

媒介変数表示 x = t + 1、y = t² − 2t で表される曲線の方程式として正しいものはどれか。

  1. y = x² + 4x + 3
  2. y = x² − 2x
  3. y = x² − 4x + 3 Correct answer.
  4. y = x² − 1

Explanation

x = t + 1 より t = x − 1 である。これを y の式に代入すると y = (x − 1)² − 2(x − 1) = x² − 2x + 1 − 2x + 2 = x² − 4x + 3 となる。

Question 38Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

関数 f(x) = x⁴ − 4x³ について、f''(x) = 0 となる x の値はどれか。

  1. x = 6
  2. x = 0
  3. x = 2 Correct answer.
  4. x = 3

Explanation

f'(x) = 4x³ − 12x²、さらに微分して f''(x) = 12x² − 24x = 12x(x − 2) である。よって f''(x) = 0 となるのは x = 0 と x = 2 であるが、選択肢にあるのは x = 2 のみである。

Question 39Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

定積分 ∫₁² (1/x²) dx の値はどれか。

  1. 3/2
  2. 2
  3. 1/2 Correct answer.
  4. 1

Explanation

1/x² = x⁻² の原始関数は −x⁻¹ = −1/x である。よって ∫₁² x⁻² dx = [−1/x]₁² = −1/2 − (−1) = 1/2 となる。

Question 40Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

複素数 z = (1 + i)/(1 − i) を計算した結果として正しいものはどれか。

  1. i Correct answer.
  2. −i
  3. −1
  4. 1

Explanation

分母の共役複素数 1 + i を分子・分母に掛けると、分母は (1 − i)(1 + i) = 2、分子は (1 + i)² = 2i となる。よって z = 2i/2 = i である。

Question 41Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

数列 {aₙ} が a₁ = 2、aₙ₊₁ = aₙ + 2n（n = 1, 2, 3, …）で定まるとき、a₅ の値はどれか。

  1. 30
  2. 22 Correct answer.
  3. 20
  4. 12

Explanation

階差が 2n なので、a₅ = a₁ + Σₖ₌₁⁴ 2k = 2 + 2(1 + 2 + 3 + 4) = 2 + 20 = 22 である。順に計算しても 2, 4, 8, 14, 22 となり一致する。

Question 42Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

白玉 4 個と赤玉 2 個が入った袋から 1 個ずつ玉を取り出す。取り出した玉は戻さないとき、2 回とも白玉である確率はどれか。

  1. 2/5 Correct answer.
  2. 8/15
  3. 1/3
  4. 4/9

Explanation

1 回目に白玉を取り出す確率は 4/6 = 2/3 である。続いて残り 5 個のうち白玉は 3 個なので 2 回目も白玉の確率は 3/5 となり、積は (2/3)(3/5) = 2/5 である。

Question 43Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

0 ≤ θ < 2π の範囲で、方程式 cos 2θ + 3cos θ + 2 = 0 を満たす θ の個数はいくつか。

  1. 2 個
  2. 1 個
  3. 3 個 Correct answer.
  4. 4 個

Explanation

cos 2θ = 2cos²θ − 1 を用いると 2cos²θ + 3cos θ + 1 = 0、すなわち (2cos θ + 1)(cos θ + 1) = 0 となる。よって cos θ = −1/2 または cos θ = −1 で、θ = 2π/3, 4π/3, π の 3 個である。

Question 44Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

関数 y = x³ − 3x² + 4 のグラフの接線のうち、傾きが 9 となる接点の x 座標はどれか。

  1. x = 1
  2. x = −1
  3. x = 2
  4. x = 3 Correct answer.

Explanation

導関数は y' = 3x² − 6x である。接線の傾きが 9 なので 3x² − 6x = 9、すなわち x² − 2x − 3 = 0 となり (x − 3)(x + 1) = 0 である。選択肢にあるのは x = 3 である。

Question 45Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

不定積分 ∫ x cos x dx を求めよ。ただし C は積分定数とする。

  1. x sin x − cos x + C
  2. x cos x − sin x + C
  3. x sin x + cos x + C Correct answer.
  4. −x sin x + cos x + C

Explanation

部分積分 ∫ f g' dx = f g − ∫ f' g dx を用い、f = x、g' = cos x とおくと ∫ x cos x dx = x sin x − ∫ sin x dx = x sin x + cos x + C となる。

Question 46Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

関数 f(x) = x² e^(−x)（x > 0）について、f'(x) = 0 となる x の値はどれか。

  1. x = e
  2. x = 2 Correct answer.
  3. x = 1/2
  4. x = 1

Explanation

積の微分法より f'(x) = 2x e^(−x) + x² (−e^(−x)) = x e^(−x)(2 − x) である。x > 0 で e^(−x) ≠ 0 なので f'(x) = 0 となるのは x = 2 である。

Question 47Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

複素数平面上で、方程式 |z − 2i| = |z + 4| を満たす点 z が表す図形はどれか。

  1. 2 点 (0, 2) と (−4, 0) を結ぶ線分の垂直二等分線 Correct answer.
  2. 2 点 (0, 2) と (−4, 0) を結ぶ線分
  3. 点 (−4, 0) を中心とする半径 2 の円
  4. 点 (0, 2) を中心とする半径 4 の円

Explanation

|z − 2i| は点 2i すなわち (0, 2) からの距離、|z + 4| は点 −4 すなわち (−4, 0) からの距離を表す。両者が等しい点の軌跡は 2 点を結ぶ線分の垂直二等分線である。

Question 48Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

関数 f(x) = x³ − 3x + 1 について、区間 −2 ≤ x ≤ 2 における最大値はどれか。

  1. 5
  2. 3 Correct answer.
  3. 1
  4. −1

Explanation

f'(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1) より極値の候補は x = ±1 である。f(−2) = −1、f(−1) = 3、f(1) = −1、f(2) = 3 を比べると最大値は 3 である。

Question 49Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

数列 aₙ = 1/(n(n + 1))（n = 1, 2, 3, …）の初項から第 n 項までの和 Sₙ を求めよ。

  1. (n + 1)/(n + 2)
  2. n/(n + 1) Correct answer.
  3. n/(n + 2)
  4. 1/(n + 1)

Explanation

部分分数分解すると 1/(n(n + 1)) = 1/n − 1/(n + 1) である。これを n 項まで足すと途中の項がすべて打ち消し合い、Sₙ = 1 − 1/(n + 1) = n/(n + 1) となる。

Question 50Mathematics (Mathematics I, II, III, A, B)

曲線 y = x² と直線 y = 2x + 3 で囲まれた部分の面積はどれか。

  1. 8/3
  2. 32/3 Correct answer.
  3. 16/3
  4. 64/3

Explanation

交点は x² = 2x + 3 より x² − 2x − 3 = 0、すなわち x = −1, 3 である。面積は ∫₋₁³ (2x + 3 − x²) dx = [x² + 3x − x³/3]₋₁³ = 9 − (−5/3) = 32/3 となる。