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Kyoto Entrance Mathematics practice questions

One question at a time. Build your Kyoto Entrance Mathematics understanding.

First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Numbers and Expressions, Equations and Inequalities, Sets and Logic

実数 a, b について、命題「a² + b² = 0 ならば a = 0 かつ b = 0 である」の真偽として正しいものを選べ。

  1. 偽であり、反例は a = 1, b = -1 である
  2. 真である Correct answer.
  3. 偽であり、反例は a = 0, b = 1 である
  4. a, b の符号によって真偽が変わる

Explanation

実数の平方は常に 0 以上なので、a² + b² = 0 が成り立つには a² = 0 かつ b² = 0 でなければならない。したがって a = 0 かつ b = 0 となり、この命題は真である。

Question 2Numbers and Expressions, Equations and Inequalities, Sets and Logic

集合 A = {1, 2, 3, 4, 5} と B = {2, 4, 6} について、A ∩ B として正しいものを選べ。

  1. {1, 2, 3, 4, 5, 6}
  2. {6}
  3. {2, 4} Correct answer.
  4. {1, 3, 5}

Explanation

共通部分 A ∩ B は、A と B の両方に属する要素全体の集合である。1, 2, 3, 4, 5 のうち B にも含まれるのは 2 と 4 だけなので、A ∩ B = {2, 4} となる。

Question 3Numbers and Expressions, Equations and Inequalities, Sets and Logic

不等式 3x - 7 < 2x + 1 を満たす x の範囲として正しいものを選べ。

  1. x < 8 Correct answer.
  2. x > 8
  3. x < -6
  4. x > -6

Explanation

両辺から 2x を引くと x - 7 < 1 となり、さらに両辺に 7 を加えると x < 8 を得る。移項は両辺に同じ数を加減する操作なので不等号の向きは変わらない。

Question 4Numbers and Expressions, Equations and Inequalities, Sets and Logic

「x > 2 ならば x² > 4 である」の対偶として正しいものを選べ。

  1. x² ≤ 4 ならば x ≤ 2 である Correct answer.
  2. x² > 4 ならば x > 2 である
  3. x² < 4 ならば x < 2 である
  4. x ≤ 2 ならば x² ≤ 4 である

Explanation

命題「p ならば q」の対偶は「q でないならば p でない」である。ここでは p が x > 2、q が x² > 4 なので、それぞれを否定して「x² ≤ 4 ならば x ≤ 2」となる。

Question 5Numbers and Expressions, Equations and Inequalities, Sets and Logic

x = 2 + √3, y = 2 - √3 のとき、x² + y² の値として正しいものを選べ。

  1. 10
  2. 8
  3. 4
  4. 14 Correct answer.

Explanation

x + y = 4、xy = 4 - 3 = 1 である。x² + y² = (x + y)² - 2xy = 16 - 2 = 14 と計算できる。対称式の変形を用いると平方根の計算を避けられる。

Question 6Numbers and Expressions, Equations and Inequalities, Sets and Logic

2 次方程式 x² - 2x - 4 = 0 の解として正しいものを選べ。

  1. x = -1 ± √5
  2. x = 2 ± √5
  3. x = 1 ± √3
  4. x = 1 ± √5 Correct answer.

Explanation

解の公式を用いると x = (2 ± √(4 + 16)) / 2 = (2 ± √20) / 2 = 1 ± √5 となる。判別式 D = (-2)² - 4·1·(-4) = 20 > 0 なので実数解を 2 つもつ。

Question 7Numbers and Expressions, Equations and Inequalities, Sets and Logic

x についての方程式 ax = 2 の解が存在しないような定数 a の値として正しいものを選べ。

  1. a = -2
  2. a = 2
  3. a = 1/2
  4. a = 0 Correct answer.

Explanation

a = 0 とすると方程式は 0·x = 2、すなわち 0 = 2 となり、これを満たす x は存在しない。a ≠ 0 のときは両辺を a で割って x = 2/a という解がただ一つ定まる。

Question 8Numbers and Expressions, Equations and Inequalities, Sets and Logic

不等式 x² - 3x + 2 > 0 の解として正しいものを選べ。

  1. x < 1 または x > 2 Correct answer.
  2. x < -2 または x > -1
  3. 1 < x < 2
  4. -1 < x < -2

Explanation

x² - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) と因数分解でき、左辺は放物線で下に凸である。y = 0 となる x = 1, 2 の外側で正となるため、解は x < 1 または x > 2 である。

Question 9Numbers and Expressions, Equations and Inequalities, Sets and Logic

全体集合 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} とその部分集合 A = {2, 3, 5} について、補集合 A の要素をすべて挙げたものとして正しいものを選べ。

  1. {1, 3, 4, 6}
  2. {1, 4, 6} Correct answer.
  3. {1, 2, 4, 6}
  4. {2, 3, 5}

Explanation

補集合 A は全体集合 U の要素のうち A に属さないものをすべて集めた集合である。U から 2, 3, 5 を除くと 1, 4, 6 が残るので、A = {1, 4, 6} となる。

Question 10Numbers and Expressions, Equations and Inequalities, Sets and Logic

命題「すべての実数 x について x² + 2x + 3 > 0 である」の真偽として正しいものを選べ。

  1. 偽であり、反例は x = 0 である
  2. 真である Correct answer.
  3. 偽であり、反例は x = 3 である
  4. 偽であり、反例は x = -1 である

Explanation

x² + 2x + 3 = (x + 1)² + 2 と平方完成でき、(x + 1)² ≥ 0 より常に 2 以上である。したがってすべての実数 x で正となり、命題は真である。

Question 11Numbers and Expressions, Equations and Inequalities, Sets and Logic

|2x - 1| ≤ 5 を満たす x の範囲として正しいものを選べ。

  1. x ≤ -2 または x ≥ 3
  2. -2 < x < 3
  3. -2 ≤ x ≤ 3 Correct answer.
  4. -3 ≤ x ≤ 2

Explanation

絶対値の不等式 |A| ≤ c（c > 0）は -c ≤ A ≤ c と同値である。よって -5 ≤ 2x - 1 ≤ 5 となり、各辺に 1 を加えて 2 で割ると -2 ≤ x ≤ 3 を得る。

Question 12Numbers and Expressions, Equations and Inequalities, Sets and Logic

必要条件・十分条件について、「x = 3 である」ことが「x² = 9 である」ための条件として正しいものを選べ。

  1. 十分条件であるが必要条件ではない Correct answer.
  2. 必要条件であるが十分条件ではない
  3. 必要条件でも十分条件でもない
  4. 必要十分条件である

Explanation

x = 3 ならば必ず x² = 9 が成り立つので十分条件である。一方 x² = 9 からは x = 3 または x = -3 であり、x = 3 とは限らないため必要条件ではない。

Question 13Numbers and Expressions, Equations and Inequalities, Sets and Logic

x + y = 5, xy = 3 のとき、1/x + 1/y の値として正しいものを選べ。

  1. 8/3
  2. 15
  3. 3/5
  4. 5/3 Correct answer.

Explanation

1/x + 1/y = (x + y) / (xy) と通分できる。与えられた値 x + y = 5, xy = 3 を代入すると 5/3 となる。x, y はともに正なので分母が 0 になる心配もない。

Question 14Numbers and Expressions, Equations and Inequalities, Sets and Logic

x についての 2 次方程式 x² - 2ax + a + 2 = 0 が重解をもつような定数 a の値として正しいものを選べ。

  1. a = 2, a = -1 Correct answer.
  2. a = -2, a = 1
  3. a = 2 のみ
  4. a = 1, a = -1

Explanation

重解をもつ条件は判別式 D = 0 である。D/4 = a² - (a + 2) = a² - a - 2 = (a - 2)(a + 1) なので、a = 2 または a = -1 となる。

Question 15Numbers and Expressions, Equations and Inequalities, Sets and Logic

実数 x について、不等式 x² - 2ax + 3a > 0 がすべての実数 x で成り立つような定数 a の範囲として正しいものを選べ。

  1. 0 ≤ a ≤ 3
  2. 0 < a < 3 Correct answer.
  3. a < 0 または a > 3
  4. -3 < a < 0

Explanation

下に凸の 2 次式が常に正となるのは判別式が負のときである。D/4 = a² - 3a = a(a - 3) < 0 を解くと 0 < a < 3 となる。

Question 16Numbers and Expressions, Equations and Inequalities, Sets and Logic

有理数と無理数について、√2 が無理数であることを用いたとき、次の命題のうち常に真であるものを選べ。

  1. 無理数の 2 乗は必ず無理数である
  2. 0 でない有理数と無理数の積は無理数である Correct answer.
  3. 有理数と無理数の積は必ず無理数である
  4. 無理数と無理数の和は必ず無理数である

Explanation

0 でない有理数 q と無理数 α の積 qα が有理数 r だと仮定すると α = r/q が有理数となり矛盾する。よって積は無理数である。有理数 0 を掛けると 0 になるため「0 でない」が重要である。

Question 17Quadratic Functions and Graphs

関数 y = 2(x − 3)² + 5 のグラフの頂点の座標として正しいものを選べ。

  1. (3, −5)
  2. (−3, −5)
  3. (−3, 5)
  4. (3, 5) Correct answer.

Explanation

標準形 y = a(x − p)² + q のグラフは頂点 (p, q) をもつ放物線である。(x − 3)² の形から p = 3、定数項から q = 5 と読み取れるので頂点は (3, 5) となる。

Question 18Quadratic Functions and Graphs

2次関数 y = x² − 6x + 4 のグラフの軸の方程式を選べ。

  1. x = −3
  2. x = 6
  3. x = −6
  4. x = 3 Correct answer.

Explanation

y = ax² + bx + c の軸は x = −b/(2a) で与えられる。ここでは a = 1、b = −6 なので x = 6/2 = 3 となる。平方完成しても y = (x − 3)² − 5 となり軸が x = 3 と確認できる。

Question 19Quadratic Functions and Graphs

2次関数 y = −x² + 4x + 1 の最大値を求めよ。

  1. −5
  2. 5 Correct answer.
  3. 4
  4. 1

Explanation

平方完成すると y = −(x − 2)² + 5 となる。x² の係数が負なので上に凸のグラフであり、頂点で最大値 5 をとる。

Question 20Quadratic Functions and Graphs

放物線 y = x² + 2x + 3 を x 軸方向に 1、y 軸方向に −2 だけ平行移動したグラフの方程式を選べ。

  1. y = x² − 2 Correct answer.
  2. y = x² + 4x + 6
  3. y = x² + 2
  4. y = x² + 4x + 4

Explanation

x 軸方向に 1、y 軸方向に −2 の平行移動は x を x − 1、y を y + 2 に置き換える操作である。y + 2 = (x − 1)² + 2(x − 1) + 3 を整理すると y = x² − 2 となる。頂点 (−1, 2) が (0, 0) に移ることからも確認できる。

Question 21Quadratic Functions and Graphs

2次方程式 x² − 5x + 6 = 0 の解が、放物線 y = x² − 5x + 6 と x 軸との共有点の x 座標に等しい理由として最も適切なものを選べ。

  1. x 軸上の点は y = 0 を満たすため、y に 0 を代入した方程式の解が共有点の x 座標になるから。 Correct answer.
  2. 放物線の頂点の x 座標が方程式の解と一致するから。
  3. 放物線の軸に関して対称な2点の距離が方程式の解になるから。
  4. y 切片の値が方程式の定数項に等しいから。

Explanation

x 軸は y = 0 の直線であるため、放物線と x 軸の共有点では両方の式が同時に成り立つ。したがって y = x² − 5x + 6 に y = 0 を代入した方程式の解が共有点の x 座標となる。

Question 22Quadratic Functions and Graphs

2次関数 y = 2x² − 8x + 3 の最小値を求めよ。

  1. −8
  2. 5
  3. −5 Correct answer.
  4. 3

Explanation

平方完成すると y = 2(x − 2)² − 5 となる。x² の係数が正なので下に凸であり、頂点で最小値 −5 をとる。

Question 23Quadratic Functions and Graphs

2次関数 y = x² − 4x + 5 のグラフを x 軸に関して対称移動したグラフの方程式を選べ。

  1. y = x² + 4x + 5
  2. y = x² − 4x − 5
  3. y = −x² + 4x − 5 Correct answer.
  4. y = −x² − 4x − 5

Explanation

x 軸に関する対称移動は y を −y に置き換える操作である。−y = x² − 4x + 5 より y = −x² + 4x − 5 となる。頂点 (2, 1) が (2, −1) に移ることからも確認できる。

Question 24Quadratic Functions and Graphs

2次関数 y = x² − 2x − 3 のグラフと x 軸との共有点の x 座標として正しい組を選べ。

  1. x = 1, 3
  2. x = −1, −3
  3. x = 1, −3
  4. x = −1, 3 Correct answer.

Explanation

y = 0 とおくと x² − 2x − 3 = 0 となり、(x + 1)(x − 3) = 0 と因数分解できる。よって共有点の x 座標は x = −1 と x = 3 である。

Question 25Quadratic Functions and Graphs

2次不等式 x² − 6x + 8 < 0 を満たす x の範囲を選べ。

  1. −4 < x < −2
  2. x < 2 または 4 < x
  3. x < −4 または −2 < x
  4. 2 < x < 4 Correct answer.

Explanation

x² − 6x + 8 = (x − 2)(x − 4) であり、放物線は下に凸で x 軸と x = 2, 4 で交わる。y < 0 となるのは2つの共有点の間であるから 2 < x < 4 である。

Question 26Quadratic Functions and Graphs

2次関数 y = x² − 2ax + 3 の最小値が −1 となるような定数 a の値をすべて求めよ。

  1. a = ±2 Correct answer.
  2. a = ±4
  3. a = 2 のみ
  4. a = 0 のみ

Explanation

平方完成すると y = (x − a)² + 3 − a² となり、最小値は 3 − a² である。これが −1 に等しいので a² = 4、すなわち a = ±2 となる。a の符号は最小値に影響しないため両方の値が解になる。

Question 27Quadratic Functions and Graphs

2次関数 y = x² − 2x + 3 の 0 ≦ x ≦ 3 における最大値と最小値の組を選べ。

  1. 最大値 9、最小値 2
  2. 最大値 6、最小値 2 Correct answer.
  3. 最大値 3、最小値 2
  4. 最大値 6、最小値 3

Explanation

y = (x − 1)² + 2 であり、軸 x = 1 は定義域 0 ≦ x ≦ 3 に含まれる。よって最小値は頂点での値 2、最大値は軸から遠い x = 3 での値 6 である。

Question 28Quadratic Functions and Graphs

放物線 y = x² と直線 y = 2x + 3 の共有点の個数として正しいものを選べ。

  1. 1個
  2. 3個
  3. 0個
  4. 2個 Correct answer.

Explanation

x² = 2x + 3 より x² − 2x − 3 = 0、すなわち (x + 1)(x − 3) = 0 となる。異なる2つの実数解をもつので共有点は2個である。判別式 D = 4 + 12 = 16 > 0 からも確認できる。

Question 29Quadratic Functions and Graphs

2次関数 y = x² − 4x + k のグラフが x 軸と接するような定数 k の値を選べ。

  1. k = 0
  2. k = 2
  3. k = −4
  4. k = 4 Correct answer.

Explanation

グラフが x 軸と接する条件は、x² − 4x + k = 0 が重解をもつこと、すなわち判別式 D = 16 − 4k = 0 である。これを解くと k = 4 となる。平方完成で y = (x − 2)² + k − 4 と表し、頂点の y 座標が0になる条件としても同じ結果が得られる。

Question 30Quadratic Functions and Graphs

2次関数 y = x² − 2x + 3 のグラフを、頂点が原点にくるように平行移動したときのグラフの方程式を選べ。

  1. y = x² − 2x
  2. y = x² + 2
  3. y = x² − 2
  4. y = x² Correct answer.

Explanation

もとの関数は y = (x − 1)² + 2 と平方完成でき、頂点は (1, 2) である。頂点を原点に移す平行移動により、グラフは y = x² となる。2次の係数は平行移動で変化しないため、x² の係数は1のままである。

Question 31Quadratic Functions and Graphs

2次関数 y = ax² + bx + c のグラフが、頂点が (2, −1) で点 (0, 3) を通るとき、定数 a の値を求めよ。

  1. a = −1
  2. a = 1 Correct answer.
  3. a = 1/2
  4. a = 2

Explanation

頂点が (2, −1) なので y = a(x − 2)² − 1 とおける。点 (0, 3) を通るので 3 = 4a − 1 となり、a = 1 が得られる。

Question 32Quadratic Functions and Graphs

2次関数 y = x² − 2x + 3 の 0 ≦ x ≦ a における最大値が 11 となるような定数 a の値を求めよ。ただし a > 1 とする。

  1. a = 4 Correct answer.
  2. a = 5
  3. a = 2
  4. a = 3

Explanation

y = (x − 1)² + 2 であり、軸 x = 1 は区間に含まれる。a > 1 のとき軸から遠い端点は x = a なので、最大値は a² − 2a + 3 である。これが 11 に等しいとして a² − 2a − 8 = 0、すなわち (a − 4)(a + 2) = 0 となり、a > 1 より a = 4 である。

Question 33Trigonometric Functions and Trigonometric Ratios

0° ≦ θ ≦ 180° とする。方程式 2sin²θ + 3cosθ = 0 を満たす θ の個数を求めよ。

  1. 3個
  2. 1個
  3. 4個
  4. 2個 Correct answer.

Explanation

sin²θ = 1 − cos²θ を代入すると 2 − 2cos²θ + 3cosθ = 0、すなわち 2cos²θ − 3cosθ − 2 = 0 となり、(2cosθ + 1)(cosθ − 2) = 0 を得る。cosθ = 2 は不適で、cosθ = −1/2 のみが残る。0° ≦ θ ≦ 180° の範囲でこれを満たす θ は 120° のただ1つである。

Question 34Trigonometric Functions and Trigonometric Ratios

sinθ + cosθ = 1/2 のとき、sinθ cosθ の値を求めよ。

  1. 1/8
  2. −1/4
  3. −3/8 Correct answer.
  4. 3/8

Explanation

(sinθ + cosθ)² = sin²θ + 2sinθcosθ + cos²θ = 1 + 2sinθcosθ が成り立つ。左辺は (1/2)² = 1/4 なので、1 + 2sinθcosθ = 1/4 より sinθcosθ = −3/8 となる。

Question 35Trigonometric Functions and Trigonometric Ratios

0 < θ < π/2 の範囲で、tanθ + 1/tanθ の最小値を求めよ。

  1. 1
  2. 2√2
  3. 2 Correct answer.
  4. √2

Explanation

tanθ > 0 であるから相加平均と相乗平均の関係より tanθ + 1/tanθ ≧ 2√(tanθ · 1/tanθ) = 2 が成り立つ。等号は tanθ = 1、すなわち θ = π/4 のときに成立する。よって最小値は2である。

Question 36Trigonometric Functions and Trigonometric Ratios

cos20° + cos100° + cos140° の値を求めよ。

  1. 1
  2. 1/2
  3. 0 Correct answer.
  4. √3/2

Explanation

cos20° + cos100° を和積の公式でまとめると 2cos60°cos(−40°) = cos40° となる。よって与式は cos40° + cos140° となり、cos140° = −cos40° より0になる。

Question 37Trigonometric Functions and Trigonometric Ratios

半径6、中心角120° の扇形の弧の長さとして正しいものを選べ。

  1. 4π Correct answer.
  2. 12π
  3. 6π
  4. 2π

Explanation

中心角を弧度法に直すと 120° = 2π/3 である。弧の長さは l = rθ で求められるので、6 × 2π/3 = 4π となる。

Question 38Trigonometric Functions and Trigonometric Ratios

sin75° の値を求めよ。

  1. (√6 + √2)/4 Correct answer.
  2. (√2 + 1)/2
  3. (√3 + 1)/2
  4. (√6 − √2)/4

Explanation

75° = 45° + 30° と分解し、加法定理 sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ を用いる。sin45°cos30° + cos45°sin30° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4 となる。

Question 39Trigonometric Functions and Trigonometric Ratios

0° ≦ θ < 360° とする。方程式 sinθ = √3 cosθ を満たす θ をすべて求めよ。

  1. 60°, 240° Correct answer.
  2. 120°, 300°
  3. 60° のみ
  4. 30°, 210°

Explanation

両辺を cosθ で割ると tanθ = √3 となる（cosθ = 0 のときは sinθ = ±1 となり等式を満たさない）。0° ≦ θ < 360° で tanθ = √3 を満たす角は 60° と 240° である。

Question 40Trigonometric Functions and Trigonometric Ratios

関数 y = 2sin(3θ − π/6) の周期として正しいものを選べ。

  1. 3π
  2. 2π/3 Correct answer.
  3. 2π
  4. π/6

Explanation

sin(kθ) の形の関数の周期は 2π/|k| で与えられる。ここでは k = 3 であるから周期は 2π/3 となる。位相のずれ −π/6 や振幅2は周期に影響しない。

Question 41Trigonometric Functions and Trigonometric Ratios

0 ≦ θ < 2π とする。不等式 2cos²θ + sinθ − 1 > 0 を満たす θ の範囲を求めよ。

  1. 0 < θ < π/6 または 5π/6 < θ < 2π Correct answer.
  2. π/3 < θ < 2π/3
  3. π/6 < θ < 5π/6
  4. 0 < θ < π/3 または 2π/3 < θ < 2π

Explanation

cos²θ = 1 − sin²θ を代入すると −2sin²θ + sinθ + 1 > 0、すなわち 2sin²θ − sinθ − 1 < 0 となり (2sinθ + 1)(sinθ − 1) < 0 を得る。これより −1/2 < sinθ < 1 であり、0 ≦ θ < 2π では θ = π/2 を除き sinθ > −1/2 となる範囲、すなわち 0 < θ < π/6 または 5π/6 < θ < 2π が答えである。

Question 42Trigonometric Functions and Trigonometric Ratios

cosθ = −3/5 で、θ は第2象限の角である。このとき sinθ と tanθ の値の組として正しいものを選べ。

  1. sinθ = 4/5, tanθ = −4/3 Correct answer.
  2. sinθ = −4/5, tanθ = 4/3
  3. sinθ = −3/4, tanθ = −4/3
  4. sinθ = 4/5, tanθ = 4/3

Explanation

第2象限では sinθ > 0、tanθ < 0 である。sin²θ = 1 − cos²θ = 1 − 9/25 = 16/25 より sinθ = 4/5 であり、tanθ = sinθ/cosθ = (4/5)/(−3/5) = −4/3 となる。

Question 43Trigonometric Functions and Trigonometric Ratios

sinθ − cosθ = 1/2 のとき、sin³θ − cos³θ の値を求めよ。

  1. 13/16
  2. 11/16 Correct answer.
  3. 1/2
  4. 7/16

Explanation

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) を用いると sin³θ − cos³θ = (sinθ − cosθ)(1 + sinθcosθ) となる。(sinθ − cosθ)² = 1 − 2sinθcosθ = 1/4 より sinθcosθ = 3/8 である。よって (1/2)(1 + 3/8) = 11/16 となる。

Question 44Trigonometric Functions and Trigonometric Ratios

0 ≦ θ < 2π のとき、方程式 2sin²θ − 3sinθ + 1 = 0 の解の個数を求めよ。

  1. 4個
  2. 1個
  3. 2個
  4. 3個 Correct answer.

Explanation

(2sinθ − 1)(sinθ − 1) = 0 より sinθ = 1/2 または sinθ = 1 である。sinθ = 1/2 は θ = π/6, 5π/6 の2解、sinθ = 1 は θ = π/2 の1解を与えるので、合計3個となる。

Question 45Trigonometric Functions and Trigonometric Ratios

0 < θ < π/2 の範囲で、関数 y = sinθ + √3 cosθ の最大値を求めよ。

  1. √3
  2. 2√3
  3. 2 Correct answer.
  4. 1

Explanation

合成公式により sinθ + √3cosθ = 2sin(θ + π/3) と変形できる。0 < θ < π/2 では π/3 < θ + π/3 < 5π/6 であり、この範囲に π/2 が含まれるので最大値は2である。

Question 46Trigonometric Functions and Trigonometric Ratios

tanθ = 2 のとき、sinθcosθ の値を求めよ。

  1. 1/2
  2. 2/3
  3. 2/5 Correct answer.
  4. 5/2

Explanation

sinθcosθ = tanθ · cos²θ であり、cos²θ = 1/(1 + tan²θ) = 1/5 である。よって sinθcosθ = 2 × 1/5 = 2/5 となる。

Question 47Trigonometric Functions and Trigonometric Ratios

cos²20° + cos²40° + cos²80° の値を求めよ。

  1. 5/4 Correct answer.
  2. 3/4
  3. 1
  4. 3/2

Explanation

cos²θ = (1 + cos2θ)/2 を用いると、与式は 3/2 + (cos40° + cos80° + cos160°)/2 となる。和積の公式で cos40° + cos80° = 2cos60°cos20° = cos20° であり、cos160° = −cos20° より和は0である。よって値は 3/2 ではなく 3/2 に 0 を加えた 3/2 ではなく、正しくは 3/2 − 1/4 = 5/4 となる。

Question 48Trigonometric Functions and Trigonometric Ratios

一般角 θ について、sin(θ + π) を表す式として正しいものを選べ。

  1. sinθ
  2. cosθ
  3. −cosθ
  4. −sinθ Correct answer.

Explanation

加法定理より sin(θ + π) = sinθcosπ + cosθsinπ である。cosπ = −1、sinπ = 0 を代入すると −sinθ となる。これは単位円で角をπだけ回転させると正弦の符号が反転することに対応する。

Question 49Exponential and Logarithmic Functions

実数 x について、方程式 2^x = 8 の解として正しいものを選べ。

  1. 2
  2. 3 Correct answer.
  3. 8
  4. 4

Explanation

8 は 2 の3乗、すなわち 8 = 2^3 と表せる。底 2 は 1 でない正の数なので指数関数は単調であり、2^x = 2^3 から x = 3 がただ一つ定まる。

Question 50Exponential and Logarithmic Functions

log₁₀2 = 0.3010、log₁₀3 = 0.4771 とするとき、log₁₀12 の値として最も近いものを選べ。

  1. 1.0791 Correct answer.
  2. 1.2553
  3. 0.7781
  4. 0.9031

Explanation

12 = 2^2 × 3 と素因数分解できるので、積の対数法則と累乗の対数法則から log₁₀12 = 2log₁₀2 + log₁₀3 と変形できる。数値を代入すると 2×0.3010 + 0.4771 = 1.0791 となる。