斜面を下る台車 - テープの記録と力の関係を読み解く
中学3年のYさんたちは、長さ1.0 m、高さ0.20 mの斜面を用意し、質量0.50 kgの台車を斜面の上端で静かに放して、斜面を下る運動を記録タイマーで調べた。記録タイマーは1秒間に50回打点するので、打点どうしの時間間隔は0.02秒である。記録テープは5打点ごと（0.1秒ごと）に区切って各区間の長さを測ったところ、はじめから順に1.0 cm、3.0 cm、5.0 cm、7.0 cm、9.0 cm、11.0 cmであった。台車にはたらく摩擦力は無視できるものとし、重力加速度は9.8 m/s²とする。斜面の角度は約11.5度で、実験は3回行い、どの回でも区間の長さはほぼ同じ値になった。台車を放すときは、テープがたるまないように張ってから手を離した。Yさんは「区間の長さが2.0 cmずつ増えているのはなぜか」「この斜面の傾きから予想される加速度と、テープから求めた加速度は一致するのか」「台車の質量を2倍にしたら、斜面を下りきるときの速さやもつエネルギーはどう変わるのか」という3つの疑問をもち、班で話し合った。斜面の下端には台車を受け止めるストッパーがある。
1. 各区間の平均の速さを求め、この運動が等加速度直線運動であることを示したうえで、加速度の大きさを求めよ。
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各区間の平均の速さ（区間の長さ ÷ 0.1 s）
| 区間 | 長さ | 平均の速さ |
|---|---|---|
| 1 | 1.0 cm | 0.10 m/s |
| 2 | 3.0 cm | 0.30 m/s |
| 3 | 5.0 cm | 0.50 m/s |
| 4 | 7.0 cm | 0.70 m/s |
| 5 | 9.0 cm | 0.90 m/s |
| 6 | 11.0 cm | 1.10 m/s |
等加速度運動であることの示し方 0.1秒ごとに平均の速さが 0.20 m/s ずつ一定の割合で増えている。短い区間の平均の速さはその区間の中央の時刻の瞬間の速さとみなせるので、速さが時間に比例して増えている、つまり等加速度直線運動である。
加速度 a = 速さの変化 ÷ 時間 = 0.20 m/s ÷ 0.1 s = 2.0 m/s² （区間の長さの差が一定であることから、a = 0.020 m ÷ (0.1 s)² = 2.0 m/s² としても同じ）
2. 斜面の傾きと重力から予想される加速度を計算し、テープから求めた値と比べて何が言えるか。摩擦力の影響にもふれて述べよ。
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斜面方向にはたらく力 重力のうち斜面に沿う成分は、斜面の高さ÷斜面の長さを使って F = m g × (h / L) = 0.50 kg × 9.8 m/s² × (0.20 m / 1.0 m) = 0.98 N
予想される加速度 運動方程式より a = F / m = 0.98 N ÷ 0.50 kg = 1.96 m/s² ≒ 2.0 m/s²
比較と判断 テープから求めた2.0 m/s²と、力から予想した1.96 m/s²はほぼ一致している。このことから、台車にはたらく摩擦力は無視できるほど小さいと判断できる。 もし摩擦力が無視できなければ、斜面方向の力は 0.98 N より小さくなるので、加速度の測定値は予想値より小さくなるはずである。今回はそうなっていないので、摩擦の影響は測定の精度の中に埋もれていると考えられる。なお、空気抵抗も同じ向きに働くが、この速さでは影響は小さい。
3. 台車の質量を1.0 kgに変えると、加速度と斜面を下りきるときの速さはどうなるか。力学的エネルギーにもふれて説明せよ。
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加速度 質量を2倍にすると、斜面方向にはたらく力も2倍になる。 F' = 1.0 kg × 9.8 m/s² × 0.20 = 1.96 N a' = F' / m' = 1.96 N ÷ 1.0 kg = 1.96 m/s² 力と質量が同じ割合で増えるため、加速度は変わらない。したがって、同じ斜面を下る間の速さの増え方も同じになる。
下端での速さ 摩擦が無視できるので、位置エネルギーの減少がすべて運動エネルギーになる。 1/2 m v² = m g h より v = √(2 g h) = √(2 × 9.8 × 0.20) = √3.92 ≒ 2.0 m/s 式から質量mが消えるので、速さは質量によらず約2.0 m/sで変わらない。
エネルギー 速さは同じでも運動エネルギー 1/2 m v² は質量に比例するので、1.0 kgの台車がもつ運動エネルギーは0.50 kgのときの2倍になる。位置エネルギーも2倍になっており、その分がそのまま運動エネルギーに移ったと説明できる。