완전 비탄성 충돌과 마찰 구간에서의 정지 위치 판정
마찰이 없는 수평면에서 질량 2 kg인 물체 A가 6 m/s의 속력으로 오른쪽으로 운동하다가, 정지해 있던 질량 3 kg인 물체 B와 충돌하여 한 덩어리가 되었다. 충돌 지점에서 오른쪽으로 3 m 떨어진 곳부터 운동 마찰 계수가 0.30인 구간이 시작되며, 이 마찰 구간은 폭이 1.0 m인 좁은 띠 모양으로 조성되어 있다. 중력 가속도는 10 m/s²으로 계산한다. 한 덩어리가 된 A와 B는 마찰 구간에 진입한 뒤 정지하였다.
실험을 지켜본 학생 갑은 '충돌 과정에서 B가 받은 충격량의 크기는 A가 받은 충격량의 크기보다 크다'라고 말했고, 학생 을은 '충돌 직후 두 물체의 운동 에너지 합은 충돌 전의 60 %이다'라고 말했다. 한편 마찰 띠의 폭은 1.0 m로 유지한 채 마찰 계수를 0.20으로 낮추어 같은 실험을 반복하려 한다. 두 학생의 주장을 정량적으로 검증하고, 마찰 계수의 변화가 물체의 최종 상태를 어떻게 바꾸는지 판단하시오.
1. 충돌 직후 한 덩어리가 된 물체의 속력을 구하고, 갑과 을의 주장이 옳은지 판정하시오.
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충돌 직후 속력
충돌 전후에 외력의 합이 0이므로 운동량이 보존된다.
2×6 + 3×0 = (2+3)×v → v = 12/5 = 2.4 m/s
갑의 주장: 틀림
충돌하는 두 물체 사이의 힘은 작용·반작용 관계이므로 크기가 같고 방향이 반대이며, 작용 시간도 같다. 따라서 충격량의 크기도 같다. 충격량-운동량 정리로 확인하면 A는 2×|2.4-6| = 7.2 N·s, B는 3×|2.4-0| = 7.2 N·s로 정확히 같다. 질량이 큰 B가 속도 변화량은 작지만(2.4 m/s), 질량이 커서 충격량은 같아진다.
을의 주장: 틀림
충돌 전 운동 에너지 = ½×2×6² = 36 J 충돌 후 운동 에너지 = ½×5×2.4² = 14.4 J
14.4/36 = 0.40이므로 충돌 후 운동 에너지는 처음의 **40 %**이며, 60 %가 아니다. 손실된 21.6 J은 완전 비탄성 충돌에서 변형과 열로 전환된 에너지이다. 즉 을은 남은 비율과 잃은 비율을 혼동한 것이다.
2. 마찰 계수가 0.30일 때와 0.20일 때, 한 덩어리가 된 물체가 마찰 띠 안에서 정지하는지 통과하는지 각각 판단하고 근거를 제시하시오.
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충돌 지점에서 마찰 구간 시작점까지 3 m는 마찰이 없으므로 속력 변화가 없다. 마찰 구간에 진입하는 순간의 속력은 두 경우 모두 2.4 m/s이다.
정지 거리 공식
½mv² = μmgd → d = v²/(2μg) (질량 m은 소거된다)
μ = 0.30
d = 2.4²/(2×0.30×10) = 5.76/6.0 = 0.96 m
마찰 띠의 폭이 1.0 m이므로 0.96 m < 1.0 m → 띠 내부에서 정지한다. 정지 지점은 충돌 지점에서 3 + 0.96 = 3.96 m 지점이다.
μ = 0.20
d = 5.76/(2×0.20×10) = 5.76/4.0 = 1.44 m > 1.0 m → 띠를 완전히 통과한다.
통과 직후 속력은 v² = 2.4² - 2×0.20×10×1.0 = 5.76 - 4.00 = 1.76 → v ≈ 1.33 m/s이다. 마찰 띠를 지난 뒤 다시 마찰이 없는 구간이라면 이 속력으로 계속 등속 운동한다. 마찰 계수가 0.10 감소할 때 정지 거리는 0.48 m 늘어나는데, 띠 폭이 1.0 m로 고정되어 있기 때문에 정지/통과라는 질적 결과가 뒤집힌다.
3. μ = 0.30인 경우에 대해, 마찰력이 한 일의 크기가 충돌 후 운동 에너지와 어떤 관계인지 계산으로 보이고, 이 실험에서 역학적 에너지가 보존되는 구간과 보존되지 않는 구간을 구분하시오.
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마찰력이 한 일
마찰력의 크기 f = μmg = 0.30×5×10 = 15 N 이동 거리 d = 0.96 m
|W| = 15×0.96 = 14.4 J
충돌 직후 운동 에너지 14.4 J과 정확히 일치한다. 즉 마찰 구간에서 운동 에너지 전부가 마찰력이 한 일로 소모되어 정지하며, 이는 일-운동 에너지 정리 ½mv² = fd와 같은 결과이다.
구간별 에너지 보존 여부
- 충돌 지점 → 마찰 구간 시작점(3 m): 수평면이므로 수직 항력과 중력이 운동 방향에 수직이고 마찰이 없어 알짜일이 0 → 역학적 에너지 보존, 속력 2.4 m/s 유지.
- 충돌 순간: 운동량은 보존되지만 운동 에너지는 36 J → 14.4 J로 감소 → 역학적 에너지 비보존(완전 비탄성).
- 마찰 구간: 마찰력이 운동 반대 방향으로 일을 하여 14.4 J을 소모 → 역학적 에너지 비보존.
정리하면, 운동량 보존 법칙은 충돌 구간에만 적용되고, 역학적 에너지 보존 법칙은 마찰 없는 3 m 구간에만 적용된다. 두 법칙을 같은 구간에 동시에 적용하는 것이 가장 흔한 오류이며, 을의 주장도 이 지점에서 생긴 오류이다.