뮤온의 지표 도달 문제로 판정하는 시간 팽창과 길이 수축

로런츠 인자

β = 0.998, β² = 0.996004 γ = 1/√(1 - β²) = 1/√0.003996 ≈ 1/0.0632 ≈ 15.8

지상 관측자 기준

뮤온의 평균 수명은 시간 팽창으로 τ = γτ₀ = 15.8 × 2.2 μs ≈ 34.8 μs

이 동안 이동 거리 L = vτ = 0.998 × 3.0×10⁸ × 34.8×10⁻⁶ ≈ 10.4 km

대기 두께가 10 km이므로 10.4 km > 10 km → 도달 가능하다. 평균 수명의 10.4/10 ≈ 1.04배에 해당하는 시간이 걸리므로, 평균적으로는 통과하지만 상당수는 도중에 붕괴하여 지표 도달 확률은 지수적으로 감소한다. 고전 예측(0.66 km)과 비교하면 시간 팽창만으로도 15.8배 더 멀리 간다는 점이 핵심이다.

갑의 설명: 옳다

지상계에서는 뮤온의 '시계'가 느리게 가므로 수명이 길어진 것으로 측정된다.

길이 수축

뮤온계에서 지구 대기는 뮤온의 운동 방향으로 움직이므로 길이가 수축한다.

L' = L/γ = 10 km / 15.8 ≈ 0.633 km (= 633 m)

통과 시간

t' = L'/v = 633/(0.998 × 3.0×10⁸) ≈ 633/(2.994×10⁸) ≈ 2.11 μs

고유 수명 2.2 μs보다 짧으므로 도달 가능하다.

을의 설명: 옳다

뮤온계에서는 수명이 2.2 μs로 평범하지만 대기가 0.63 km로 짧아져 통과 시간이 2.11 μs로 줄어든다. 두 관측자의 계산은 서로 다른 물리량(시간 vs 길이)을 다르게 측정했을 뿐 같은 사건을 기술하며, 정량적으로 일관된다. 지상계의 10.4 km와 뮤온계의 0.633 km는 γ = 15.8로 정확히 연결된다(10.4/15.8 ≈ 0.66 km로, 고전 거리 0.66 km와 우연히 같은 수치가 되는데 이는 두 계산이 같은 γ 인자로 묶여 있기 때문이다).

판정: 그럴 수 없다.

'뮤온이 지표면의 검출기를 통과하는 사건'은 시공간의 한 점에서 실제로 일어나는 사건이다. 상대성 이론에서 관성계에 따라 달라지는 것은 시간 간격, 길이, 동시성이며, 사건의 발생 여부 자체는 모든 관성계에서 동일하다. 뮤온계에서 도달하면 지상계에서도 반드시 도달하고, 그 반대도 마찬가지이다. 두 좌표계의 계산이 모두 '도달'이라는 같은 결론을 주는 것이 이를 확인해 준다.

흔한 오해

시간 팽창은 '수명이 늘어나는 것'이고 길이 수축은 '거리가 줄어드는 것'이므로 서로 다른 현상이라고 생각하기 쉽다. 그러나 이는 같은 로런츠 변환을 서로 다른 좌표계에서 기술한 결과이며, 어느 한쪽만 적용해서는 안 되고 두 효과를 동시에 적용하면 모순이 생긴다(예: 지상계에서 길이 수축까지 적용하면 거리가 0.63 km로 줄어 지나치게 쉽게 도달한다고 계산하게 된다).

추가 확인

로런츠 불변량인 시공간 간격 s² = (ct)² - x²는 어느 계에서 계산해도 같다. 지상계에서 뮤온의 붕괴까지 간격을 계산하든 뮤온계에서 계산하든 같은 값이 나오며, 이것이 두 관측자의 결론이 일치해야 함을 보장하는 형식적 근거이다.