Quel modèle pour la production photovoltaïque communale ?
Dans le cadre d'un travail de recherche en mathématiques, une élève de 1re analyse un jeu de données fourni par son professeur: pour 30 communes du Luxembourg, le nombre d'installations photovoltaïques raccordées (x, compris entre 8 et 92) et la production annuelle estimée en MWh (y). Le tableur propose deux ajustements: linéaire, y = 4,2x + 180 avec R² = 0,93; exponentiel, y = 210·e^(0,028x) avec R² = 0,95. L'élève rédige: «Chaque installation ajoute 4,2 MWh par an; si la commune de Beckerich installe 500 panneaux supplémentaires, sa production atteindra 2 280 MWh, soit 40 % de sa consommation.» Elle doit présenter son travail à l'oral et hésite entre les deux modèles. Son professeur exige qu'elle justifie chaque affirmation et qu'elle distingue clairement ce que les données permettent d'affirmer de ce qu'elles ne permettent pas d'affirmer.
1. Critiquez l'affirmation «chaque installation ajoute 4,2 MWh par an». Précisez l'unité, le rôle de l'ordonnée à l'origine et la portée causale du résultat.
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Trois problèmes distincts se superposent.
Unité. x compte des installations, pas des panneaux. Le coefficient 4,2 s'exprime donc en MWh par installation et par an; le transformer en MWh par panneau est déjà une erreur de grandeur.
Ordonnée à l'origine. 180 MWh correspondrait à une commune sans aucune installation, situation hors du domaine observé (x va de 8 à 92). Ce nombre n'a pas d'interprétation physique: il absorbe la moyenne des facteurs omis (taille moyenne des installations, ensoleillement, nombre de logements).
Causalité. R² = 0,93 signifie que 93 % de la variance de y est décrite par le modèle, pas qu'une installation produit 4,2 MWh. Une troisième variable (nombre de logements, revenu médian, politique communale) peut expliquer les deux. De plus, les données sont agrégées par commune: conclure au niveau d'une installation serait une erreur écologique.
Formulation défendable: «dans cet échantillon de 30 communes, une installation supplémentaire est associée en moyenne à 4,2 MWh de production annuelle de plus, sans que le lien causal soit établi».
2. L'élève doit choisir entre le modèle linéaire et le modèle exponentiel. Rédigez l'argumentation qu'elle peut présenter, en mobilisant le domaine de validité et l'interprétation des résidus.
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Le R² brut ne tranche pas: 0,95 contre 0,93, l'écart est minime et les deux modèles n'ont pas la même flexibilité.
Test du domaine de validité. À x = 92, l'exponentiel donne 210·e^(2,58) ≈ 2 770 MWh, soit environ 30 MWh par installation, près de sept fois le coefficient linéaire: l'emballement a déjà commencé à l'intérieur du domaine observé. À x = 592 (500 installations de plus), il donnerait 210·e^(16,6), c'est-à-dire plus de 10⁹ MWh pour une seule commune: absurdité physique. Le modèle linéaire, lui, reste borné et compatible avec un rendement par installation.
Résidus. Il faut regarder leur structure: s'ils dessinent une courbure systématique, l'exponentiel se justifie; s'ils sont dispersés sans motif, la parcimonie favorise le linéaire, qui a un paramètre de moins.
Conclusion à présenter. Retenir le linéaire pour l'interpolation dans [8; 92], refuser toute extrapolation, et présenter l'exponentiel comme un simple ajustement de forme, sans validité hors du domaine. Un R² supérieur de 0,02 ne compense pas une prédiction absurde.
3. Réécrivez la phrase sur les 500 panneaux en une formulation défendable, et indiquez deux données supplémentaires qui seraient nécessaires pour évaluer la couverture de 40 %.
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Réécriture. «Si la commune installait 500 panneaux, soit environ 200 à 250 kWc et de l'ordre de 200 à 240 MWh par an aux productibles usuels, on ne pourrait pas déduire la production du modèle: 500 panneaux ne sont pas 500 installations, et l'on sort du domaine observé. Le chiffre de 2 280 MWh (4,2 × 500 + 180) additionne de surcroît deux grandeurs incohérentes, des MWh par installation et une ordonnée à l'origine non interprétable.»
Données manquantes. (1) La consommation électrique annuelle totale de la commune, sans laquelle aucun pourcentage ne peut être calculé: le 40 % n'est pas fourni par les données. (2) La puissance unitaire des panneaux et le productible spécifique local (kWh/kWc/an), ainsi que le nombre d'installations correspondant aux 500 panneaux, pour repasser à l'unité du modèle.
Point de méthode. Une prévision honnête s'accompagne d'un intervalle et d'une mention explicite du caractère hors échantillon. À défaut, on annonce une fourchette de puissance installée, pas un pourcentage de couverture.