Convoyeur à bande : valider le rapport d'engrenage, l'effort sur bande et l'arbre du tambour
Une sablière doit motoriser un convoyeur d'évacuation. Le tambour d'entraînement a un diamètre D = 250 mm et la bande doit avancer à v = 1,2 m/s, avec une tolérance de ±3 % sur cette vitesse. Le moteur retenu est un asynchrone triphasé de 3 kW tournant à 1 450 tr/min. La transmission se compose d'un entraînement par poulies et courroie trapézoïdale de rapport i1 = 2,5, puis d'un réducteur à un étage d'engrenages droits. Les rendements retenus sont : courroie 0,96 ; engrenage 0,97 ; deux paires de roulements à 0,99 chacune. L'arbre du tambour sera réalisé en XC48 avec une contrainte admissible au cisaillement de torsion τadm = 40 MPa. Le magasin ne dispose que de pignons normalisés de 19, 21, 23, 25, 95, 100, 115, 120 et 125 dents. Le mécanicien propose un pignon de 19 dents menant une roue de 120 dents. Avant de lancer la fabrication, il faut valider la cinématique, l'effort tangentiel sur la bande et le diamètre de l'arbre.
1. Déterminer la vitesse de rotation nécessaire du tambour, la plage admissible, puis valider ou corriger la combinaison de roues proposée (Z1 = 19 / Z2 = 120).
Read the worked answer
1. Vitesse du tambour : v = π·D·n/60 donc n = 60·v/(π·D) = 60×1,2/(π×0,25) = 91,7 tr/min.
Tolérance ±3 % → plage admissible 88,9 à 94,4 tr/min.
2. Rapport total nécessaire : i = nmoteur/ntambour = 1 450/91,7 = 15,8.
Le rapport de la courroie étant fixé à 2,5 : i_engrenage = 15,8/2,5 = 6,32.
3. Vérification de la proposition : Z2/Z1 = 120/19 = 6,316 (proche de 6,32, écart 0,06 %).
n_tambour = 1 450/(2,5 × 6,316) = 91,83 tr/min
v = π×0,25×91,83/60 = 1,202 m/s → écart +0,17 % sur 1,2 m/s.
Conclusion : la combinaison 19/120 convient, elle est bien dans la plage ±3 %. Deux remarques de métier : avec 19 dents et une roue de 120, le rapport par étage reste acceptable pour des engrenages droits à 20° (pas de sous-cut), mais 19 dents est un minimum ; si l'on voulait se rapprocher exactement de 91,7 tr/min il faudrait 120,2 dents, ce qui n'existe pas en stock - l'écart résiduel de 0,17 % est négligeable devant la tolérance. Il faut aussi vérifier que la roue de 120 dents passe dans le carter (entraxe = m·(Z1+Z2)/2).
2. Calculer la puissance et le couple disponibles à l'arbre du tambour, puis l'effort tangentiel développé sur la bande. Préciser l'usage de cet effort pour le dimensionnement des paliers.
Read the worked answer
1. Rendement global (produit des rendements en cascade) :
η = 0,96 × 0,97 × 0,99 × 0,99 = 0,913
2. Puissance utile : Pu = 3 × 0,913 = 2,74 kW.
3. Vitesse angulaire : ω = 2π·n/60 = 2π×91,83/60 = 9,62 rad/s.
4. Couple au tambour : C = Pu/ω = 2 740/9,62 = 285 N·m.
5. Effort tangentiel sur la bande : le couple est transmis au rayon du tambour :
Ft = 2·C/D = 2×285/0,25 = 2 280 N
Interprétation pour les paliers : cet effort Ft n'est que la composante utile. Une bande transporteuse doit être tendue pour transmettre l'effort, donc la résultante radiale sur l'arbre vaut approximativement 1,5 à 2 fois Ft, soit 3 400 à 4 600 N. C'est cette résultante, et non Ft seul, qui sert au calcul de la durée de vie des roulements (charge dynamique équivalente P) et à la vérification de la flèche de l'arbre. Une erreur classique consiste à retenir Ft seul : les roulements seraient alors sous-dimensionnés d'un facteur 2 en charge, donc d'un facteur 8 à 10 en durée de vie (L10 ∝ (C/P)³).
3. Dimensionner l'arbre du tambour en torsion seule, puis expliquer pourquoi le diamètre réellement retenu doit être supérieur. Proposer une valeur normalisée.
Read the worked answer
1. Dimensionnement en torsion seule (section pleine) :
τ = 16·C/(π·d³) ≤ τadm → d ≥ (16·C/(π·τadm))^(1/3)
Avec C = 285 000 N·mm et τadm = 40 MPa :
16×285 000 = 4,56×10⁶π×40 = 125,74,56×10⁶/125,7 = 36 300d ≥ 36 300^(1/3) = 33,1 mm
Soit un diamètre normalisé de 35 mm si l'on s'en tenait à la torsion pure.
2. Pourquoi 35 mm est insuffisant :
- L'arbre ne travaille pas en torsion pure : il subit la flexion due à la tension de bande (3 400 à 4 600 N répartis sur la longueur du tambour), ce qui impose un calcul en moment équivalent ou en critère de von Mises.
- La rainure de clavetage traverse la section : elle supprime de la matière et crée une concentration de contrainte ; la pratique courante majore le diamètre de 5 à 8 % (soit 35 → 37 mm) et impose un congé de raccordement.
- Il faut aussi un diamètre compatible avec l'alésage du moyeu du tambour et avec la portée de roulement normalisée (bags 30/35/40/45).
3. Décision : retenir Ø40 mm en XC48, puis vérifier par le calcul complet (flexion + torsion, moment idéal) et contrôler la flèche au droit du tambour. Si le calcul combiné montre un dépassement, passer à Ø45 mm plutôt que de changer de nuance : la limite d'élasticité de l'XC48 est déjà correcte et le gain de rigidité vient du diamètre (I varie en d⁴).