Probabilités et décision dans un jeu de hasard scolaire
Lors d'une kermesse au lycée de Bobo-Dioulasso, un club de mathématiques propose un jeu. On lance deux dés équilibrés à six faces. Si la somme est 7, le joueur gagne 500 F CFA ; si la somme est 2 ou 12, il gagne 1 000 F CFA ; sinon il perd sa mise de 200 F CFA. Le club veut savoir si le jeu est rentable pour lui. Un élève affirme : « La somme 7 est la plus probable, donc le joueur gagne souvent, le jeu est favorable au joueur. » Le trésorier du club s'inquiète : sur 300 parties prévues, quel gain peut-il espérer ?
1. Calculez la loi de probabilité de la somme de deux dés, puis l'espérance de gain du joueur pour une partie. Le jeu est-il favorable au joueur ou au club ?
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Il y a 36 issues équiprobables (6 × 6). On compte les façons d'obtenir chaque somme : 2 → 1 ; 3 → 2 ; 4 → 3 ; 5 → 4 ; 6 → 5 ; 7 → 6 ; 8 → 5 ; 9 → 4 ; 10 → 3 ; 11 → 2 ; 12 → 1. Total : 36.
Probabilités utiles : P(somme = 7) = 6/36 = 1/6 ; P(somme = 2 ou 12) = 1/36 + 1/36 = 2/36 = 1/18 ; P(autre) = 1 − 1/6 − 1/18 = 1 − 3/18 − 1/18 = 14/18 = 7/9.
Gain net du joueur : +500 F si 7 ; +1 000 F si 2 ou 12 ; −200 F sinon. Espérance E = (1/6)(500) + (1/18)(1000) + (7/9)(−200). Calcul : 500/6 ≈ 83,33 ; 1000/18 ≈ 55,56 ; −1400/9 ≈ −155,56. Somme : 83,33 + 55,56 − 155,56 ≈ −16,67 F. Donc E ≈ −16,67 F par partie : le jeu est défavorable au joueur, favorable au club (gain moyen d'environ 16,67 F par partie). L'affirmation de l'élève est fausse : la somme 7 est la plus probable, mais le gain associé est faible et la perte est fréquente (7/9 des cas).
2. Le trésorier prévoit 300 parties. Estimez le gain total du club et précisez la limite de cette estimation. Proposez un ajustement des gains pour rendre le jeu équitable.
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Gain moyen du club par partie = +16,67 F (opposé de l'espérance du joueur). Sur 300 parties, gain attendu ≈ 300 × 16,67 ≈ 5 000 F. Attention : c'est une espérance, pas une certitude. La variance est élevée, donc le gain réel peut varier. On peut estimer l'écart-type pour préciser l'incertitude : calculons E(X²) pour le joueur. E(X²) = (1/6)(500²) + (1/18)(1000²) + (7/9)(200²) = (1/6)(250000) + (1/18)(1000000) + (7/9)(40000) ≈ 41 667 + 55 556 + 31 111 ≈ 128 334. Variance = E(X²) − E(X)² ≈ 128 334 − 278 ≈ 128 056 ; écart-type ≈ 358 F. Sur 300 parties, l'écart-type du gain total est 358 × √300 ≈ 358 × 17,3 ≈ 6 200 F. Le gain du club est donc très incertain : il pourrait même être négatif malgré une espérance positive.
Pour rendre le jeu équitable, il faut E = 0. Si l'on garde la mise à 200 F et le gain de 500 F pour la somme 7, on peut ajuster le gros gain G : (1/6)(500) + (1/18)G − (7/9)(200) = 0, soit 83,33 + G/18 − 155,56 = 0, d'où G/18 = 72,22, G ≈ 1 300 F. Un gros gain d'environ 1 300 F rendrait le jeu équitable. Une autre solution consiste à augmenter la mise, mais cela décourage les joueurs.