Suite arithmético-géométrique et décision d'épargne
Une association de femmes de Ouagadougou place 250 000 FCFA dans un compte rémunéré. Le contrat stipule que le capital augmente de 4 % par an, puis que l'association y ajoute 30 000 FCFA à la fin de chaque année. On note u_n le capital disponible après n années, en FCFA, avec u_0 = 250 000. L'association se demande au bout de combien d'années le capital dépassera 500 000 FCFA. Par ailleurs, une tontine locale propose un versement unique de 320 000 FCFA au bout de 3 ans si l'association place aujourd'hui 250 000 FCFA.
1. Établissez la relation de récurrence, exprimez u_n en fonction de n, puis déterminez le plus petit entier n tel que u_n > 500 000.
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Récurrence. Chaque année, le capital est multiplié par 1,04 puis augmenté de 30 000 :
u_{n+1} = 1,04 u_n + 30 000, avec u_0 = 250 000.
Point fixe. On cherche ℓ tel que ℓ = 1,04ℓ + 30 000, soit −0,04ℓ = 30 000, donc ℓ = −750 000.
Forme explicite. Posons v_n = u_n − ℓ = u_n + 750 000. Alors v_{n+1} = 1,04 v_n, donc v_n = 1,04^n × v_0 avec v_0 = 250 000 + 750 000 = 1 000 000.
D'où u_n = 1 000 000 × 1,04^n − 750 000.
Seuil. On résout 1 000 000 × 1,04^n − 750 000 > 500 000, soit 1,04^n > 1,25.
Par logarithme : n > ln(1,25)/ln(1,04) ≈ 0,22314/0,03922 ≈ 5,69. Donc n = 6.
Vérification. u_5 = 1 000 000 × 1,04^5 − 750 000 ≈ 1 000 000 × 1,216653 − 750 000 ≈ 466 653 F (inférieur à 500 000). u_6 ≈ 1 000 000 × 1,265319 − 750 000 ≈ 515 319 F (supérieur). Le seuil est franchi après la 6e année.
2. Comparez le contrat à 4 % avec versements et la tontine, puis discutez les limites de cette comparaison financière.
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Valeur du contrat à 4 % au bout de 3 ans. u_3 = 1 000 000 × 1,04^3 − 750 000. Or 1,04^3 = 1,124864, donc u_3 ≈ 1 124 864 − 750 000 = 374 864 F.
Comparaison. La tontine rapporte 320 000 F au bout de 3 ans, soit 54 864 F de moins que le contrat. Le contrat est donc plus avantageux en valeur nominale.
Taux de la tontine. Le taux annuel équivalent i vérifie 250 000(1+i)^3 = 320 000, soit (1+i)^3 = 1,28 et 1+i = 1,28^{1/3} ≈ 1,0858, donc i ≈ 8,6 %. La tontine offre un rendement plus élevé que 4 % si l'on ne tient compte que du versement final.
Résolution de l'apparente contradiction. Le contrat bénéficie d'apports annuels de 30 000 F, qui rapportent eux aussi des intérêts ; la tontine repose sur un placement unique. Il faut comparer à flux comparables : placer 250 000 F à 4 % pendant 3 ans donnerait 250 000 × 1,124864 ≈ 281 216 F, très inférieur à 320 000 F. La tontine est donc meilleure pour un placement unique, mais plus risquée.
Limites. La comparaison ignore l'inflation (les FCFA de l'année 3 ne valent pas ceux d'aujourd'hui) ; elle ignore le risque de défaut de la tontine, souvent informelle et sans garantie ; elle ignore la liquidité (l'argent est bloqué 3 ans) et la fiscalité éventuelle. Un choix rationnel doit intégrer ces dimensions, pas seulement le rendement nominal.