Suite arithmético-géométrique et seuil de rentabilité
Une coopérative de transformation d'ananas produit un jus artisanal. La production du mois 1 est de 2 000 litres. Chaque mois, la coopérative perd 10 % de sa production par rapport au mois précédent à cause du vieillissement des équipements, mais gagne 300 litres grâce à de nouveaux clients. On note u_n la production du mois n, avec u_1 = 2 000. La coopérative veut savoir si sa production va se stabiliser et à quel niveau, et à partir de quel mois elle passera sous la barre des 3 200 litres... attention, ce seuil est supérieur à la production initiale : la question pertinente est de savoir si la suite converge et si la production reste au-dessus de 2 500 litres à long terme.
1. Exprimez u_{n+1} en fonction de u_n, déterminez la limite de la suite et justifiez sa monotonie.
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Relation de récurrence. u_{n+1} = 0,9 u_n + 300, avec u_1 = 2 000.
Point fixe. On cherche L tel que L = 0,9 L + 300, soit 0,1 L = 300, donc L = 3 000.
Forme explicite. Posons v_n = u_n − 3 000. Alors v_{n+1} = u_{n+1} − 3 000 = 0,9 u_n + 300 − 3 000 = 0,9(u_n − 3 000) = 0,9 v_n. La suite (v_n) est géométrique de raison 0,9 et de premier terme v_1 = 2 000 − 3 000 = −1 000. Donc v_n = −1 000 × 0,9^{n−1}, et u_n = 3 000 − 1 000 × 0,9^{n−1}.
Limite. Comme 0 < 0,9 < 1, 0,9^{n−1} → 0, donc u_n → 3 000 litres.
Monotonie. u_{n+1} − u_n = 0,9 u_n + 300 − u_n = 300 − 0,1 u_n. Or u_n < 3 000 pour tout n (car v_n < 0), donc 0,1 u_n < 300 et la différence est positive : la suite est strictement croissante et converge vers 3 000 par valeurs inférieures. La production ne s'effondre pas ; elle se stabilise autour de 3 000 litres, au-dessus du seuil de 2 500 litres.
2. Déterminez le plus petit entier n tel que u_n > 2 900. Vérifiez par le calcul puis commentez l'intérêt économique du résultat.
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Résolution. On veut 3 000 − 1 000 × 0,9^{n−1} > 2 900, soit 1 000 × 0,9^{n−1} < 100, c'est-à-dire 0,9^{n−1} < 0,1.
En passant au logarithme (décroissant, donc l'inégalité s'inverse) : (n − 1) ln 0,9 < ln 0,1, soit n − 1 > ln 0,1 / ln 0,9. Or ln 0,1 ≈ −2,3026 et ln 0,9 ≈ −0,1054, donc le quotient vaut ≈ 21,85. Ainsi n − 1 > 21,85, soit n > 22,85 : le plus petit entier est n = 23.
Vérification. u_22 = 3 000 − 1 000 × 0,9^{21} ≈ 3 000 − 109,4 = 2 890,6 (< 2 900). u_23 = 3 000 − 1 000 × 0,9^{22} ≈ 3 000 − 98,5 = 2 901,5 (> 2 900). La condition est bien remplie à partir du mois 23.
Commentaire économique. La production croît vers un plafond de 3 000 litres : la coopérative ne peut pas dépasser ce niveau avec le modèle actuel (perte de 10 % compensée par 300 litres de nouveaux clients). Atteindre 2 900 litres prend près de deux ans, ce qui montre la lenteur de la convergence. Pour aller au-delà de 3 000 litres, il faudrait réduire le taux de perte (maintenance, investissement) ou augmenter le gain mensuel de clients : c'est un choix de gestion, pas une fatalité mathématique.