Sondage, marge d'erreur et décision commerciale
Une entreprise de distribution réalise une enquête auprès d'un échantillon aléatoire de 400 clients d'une ville pour estimer la proportion de clients satisfaits. Sur ces 400 clients, 260 se déclarent satisfaits. L'entreprise souhaite savoir si elle peut affirmer, au seuil de 5 %, que plus de 60 % de sa clientèle est satisfaite. Par ailleurs, on sait que le montant des achats mensuels par client suit une loi normale de moyenne 18 000 F CFA et d'écart-type 4 000 F CFA. La direction envisage une campagne de fidélisation ciblant les clients dont les achats dépassent 24 000 F CFA.
1. Construisez l'intervalle de confiance à 95 % de la proportion de clients satisfaits et testez l'hypothèse que cette proportion dépasse 60 %.
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Fréquence observée : p̂ = 260/400 = 0,65.
Erreur type : σ = √[p̂(1 − p̂)/n] = √(0,65 × 0,35 / 400) = √(0,2275/400) = √0,00056875 ≈ 0,02385.
Intervalle de confiance à 95 % (z ≈ 1,96) : 0,65 ± 1,96 × 0,02385 = 0,65 ± 0,0467, soit [0,6033 ; 0,6967], ou environ [60,3 % ; 69,7 %].
Test unilatéral : H0 : p = 0,60 contre H1 : p > 0,60.
- Erreur type sous H0 : √(0,60 × 0,40/400) = √0,0006 ≈ 0,02449
- z = (0,65 − 0,60)/0,02449 ≈ 2,04
- Valeur critique à 5 % unilatéral : 1,645. Comme 2,04 > 1,645, on rejette H0 : au seuil de 5 %, on peut affirmer que la proportion de clients satisfaits dépasse 60 %.
Nuance importante : la borne inférieure de l'intervalle de confiance bilatéral (60,3 %) est très proche de 60 %. La conclusion est donc statistiquement significative mais fragile : elle dépend du seuil et de la taille de l'échantillon. Il serait imprudent de bâtir une stratégie lourde sur une marge aussi faible ; un échantillon plus grand réduirait l'erreur type. Le candidat doit signaler cette fragilité plutôt que de conclure sèchement.
2. Estimez la proportion de clients dont les achats mensuels dépassent 24 000 F CFA, puis discutez la pertinence de la cible retenue.
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Standardisation : X suit N(18 000 ; 4 000).
- z = (24 000 − 18 000)/4 000 = 6 000/4 000 = 1,5
- P(X > 24 000) = P(Z > 1,5) = 1 − 0,9332 = 0,0668, soit environ 6,7 % de la clientèle.
Conséquences opérationnelles : sur 400 clients interrogés, cela représenterait environ 27 clients. La cible est donc étroite. Deux lectures sont possibles :
- Ciblage sélectif : 6,7 % des clients mais des achats élevés ; si la marge par client est forte, l'opération reste rentable, à condition que le coût de contact par client soit inférieur à la marge espérée.
- Ciblage trop restrictif : la campagne risque de ne pas produire d'effet mesurable sur le chiffre d'affaires global. Un seuil à 22 000 F CFA (z = 1) capterait 15,9 % des clients, soit plus du double.
Point de méthode : l'hypothèse de normalité doit être discutée. Les montants d'achat sont des variables positives et souvent asymétriques ; l'écart-type de 4 000 F CFA avec une moyenne de 18 000 F CFA rend plausible un petit nombre de très gros clients, ce qui étire la distribution vers la droite et rend la loi normale approximative. Il faut le signaler et, si possible, vérifier sur les données réelles. Un candidat qui applique la table sans discuter la validité du modèle perd des points de qualité de raisonnement.