Mathématiques financières : intérêts, actualisation, annuités et emprunts
Les fondements
La capitalisation repose sur la formule des intérêts composés : Cn = C0 × (1 + i)^n. L'actualisation est l'opération inverse : C0 = Cn / (1 + i)^n. Il faut savoir convertir les taux (taux annuel → taux mensuel équivalent : (1+i)^(1/12) − 1) et distinguer taux proportionnel et taux équivalent.
Annuités et emprunts
La valeur acquise d'annuités constantes de fin de période vaut Vn = a × [(1+i)^n − 1] / i ; la valeur actuelle vaut V0 = a × [1 − (1+i)^(−n)] / i. Pour un emprunt remboursé par annuités constantes, l'annuité se calcule par a = C × i / [1 − (1+i)^(−n)]. On distingue l'amortissement (part de capital remboursé) et l'intérêt (calculé sur le capital restant dû).
Les pièges classiques
- Utiliser un taux mensuel proportionnel là où un taux équivalent est exigé.
- Confondre annuités de début et de fin de période (multiplication par (1+i)).
- Oublier de convertir la durée en la même unité que le taux.
- Dans un tableau d'amortissement, recalculer l'intérêt sur le capital initial au lieu du capital restant dû.
- Arrondir trop tôt : conservez les décimales jusqu'au résultat final.
Exemple travaillé
Emprunt de 2 000 000 FCFA au taux annuel de 10 % sur 3 ans, remboursable par annuités constantes. a = 2 000 000 × 0,10 / [1 − (1,10)^(−3)] = 200 000 / 0,24869 ≈ 804 230 FCFA. Première année : intérêt = 200 000 ; amortissement = 604 230 ; capital restant = 1 395 770. Règle : vérifiez toujours que la somme des amortissements égale le capital emprunté.