Pães, forno e farinha: a proposta viável que não é ótima
Uma cooperativa produz dois tipos de pão: integral (A) e de castanha (B). Cada lote de A dá lucro de R$ 5,00 e consome 2 horas de forno e 1 kg de farinha; cada lote de B dá lucro de R$ 10,00 e consome 3 horas de forno e 2 kg de farinha. Por semana, há 60 horas de forno e 40 kg de farinha. Por contrato, é preciso produzir ao menos 5 lotes de A; por capacidade de embalagem, no máximo 12 lotes de B. A cooperativa propõe produzir 10 lotes de A e 10 lotes de B. Um associado diz que essa proposta é inviável; outro diz que é viável, mas não ótima. O conselho quer decidir com base em números.
1. Modele as restrições e a função lucro. Verifique se a proposta (10, 10) é viável e calcule seu lucro.
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Seja x = lotes de A e y = lotes de B. Restrições: 2x + 3y ≤ 60 (forno); x + 2y ≤ 40 (farinha); x ≥ 5; y ≤ 12; x, y ≥ 0. Lucro: L = 5x + 10y. Para (10,10): forno = 20 + 30 = 50 ≤ 60; farinha = 10 + 20 = 30 ≤ 40; x ≥ 5; y ≤ 12. Logo, é viável. Lucro = 5·10 + 10·10 = 50 + 100 = R$ 150,00. A afirmação de inviabilidade está errada; a de viabilidade sem otimalidade precisa ser testada.
2. Determine a solução ótima e explique, com base na análise gráfica ou algébrica, por que a proposta não é ótima (se for o caso).
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A região viável tem vértices (5,0), (30,0), (12,12) e (5,12). Lucros: 25, 150, 180 e 145. O máximo é (12,12), com R$ 180,00. A proposta (10,10) é viável, mas não ótima: ela deixa 10 horas de forno e 10 kg de farinha sem uso; deslocar a produção para (12,12) usa os recursos e aumenta o lucro em R$ 30,00. Graficamente, (10,10) está no interior da região, não em um vértice; a função lucro cresce até a fronteira. A afirmação “viável, mas não ótima” é a correta.
3. Se o forno passar a ter 70 horas semanais, sem outras mudanças, o lucro máximo aumenta? Justifique usando a solução ótima anterior ou a nova região viável.
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Nova restrição: 2x + 3y ≤ 70. A farinha continua x + 2y ≤ 40, x ≥ 5, y ≤ 12. Vértices relevantes: (5,12): L=145; (16,12): forno 32+36=68, farinha 16+24=40, L=80+120=200; (20,10): forno 40+30=70, farinha 20+20=40, L=100+100=200; (30,0): L=150. O máximo sobe para R$ 200,00. O aumento é R$ 20,00. A solução ótima anterior (12,12) usava 60 h de forno; com 70 h, a farinha passa a ser o limite principal em (16,12) e (20,10). Como há mais horas, a cooperativa pode produzir mais B (ou mais A e B) até a farinha limitar. Portanto, sim, o lucro máximo aumenta, mas não proporcionalmente às horas extras, porque outro recurso se torna restritivo.