La piscine municipale et le taux d'occupation
Une ville exploite une piscine intérieure dont la fréquentation hebdomadaire a été consignée pendant 12 semaines. Les nombres de baigneurs par semaine sont : 312, 298, 341, 355, 289, 402, 388, 367, 299, 315, 410, 324. La direction affirme que la piscine est « pleine à capacité » et veut ajouter des plages horaires payantes. Un baigneur compte en moyenne 45 minutes de présence, et la piscine peut accueillir 60 personnes simultanément. Elle est ouverte 70 heures par semaine. La direction a aussi remarqué que la semaine 6 (402 baigneurs) coïncidait avec une journée portes ouvertes, et que la semaine 11 (410) coïncidait avec une compétition régionale. Elle se demande si ces semaines doivent être exclues de l'analyse.
1. Calcule la moyenne, la médiane et l'étendue de la fréquentation hebdomadaire, puis détermine le taux d'occupation moyen de la piscine. Utilise les 12 semaines.
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Somme : 312 + 298 + 341 + 355 + 289 + 402 + 388 + 367 + 299 + 315 + 410 + 324 = 4 100. Moyenne : 4 100 ÷ 12 ≈ 341,7 baigneurs/semaine.
Valeurs ordonnées : 289, 298, 299, 312, 315, 324, 341, 355, 367, 388, 402, 410. Médiane = moyenne des 6e et 7e valeurs = (324 + 341) ÷ 2 = 332,5. Étendue = 410 − 289 = 121.
Taux d'occupation. Capacité hebdomadaire en heures-personnes : 60 personnes × 70 h = 4 200 personnes-heures. Chaque baigneur occupe 45 min = 0,75 h. La fréquentation moyenne représente 341,7 × 0,75 ≈ 256,3 personnes-heures par semaine. Taux d'occupation ≈ 256,3 ÷ 4 200 ≈ 6,1 %. La piscine est donc très loin d'être pleine en moyenne ; l'affirmation de la direction n'est pas soutenue par les données.
2. La direction veut exclure les semaines 6 et 11 comme « atypiques ». Recalcule la moyenne et la médiane sans ces semaines, puis explique si l'exclusion change la conclusion sur l'occupation.
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Sans les semaines 6 et 11 : somme = 4 100 − 402 − 410 = 3 288. Moyenne = 3 288 ÷ 10 = 328,8. Valeurs ordonnées : 289, 298, 299, 312, 315, 324, 341, 355, 367, 388. Médiane = (315 + 324) ÷ 2 = 319,5.
Occupation moyenne : 328,8 × 0,75 ≈ 246,6 personnes-heures, soit 246,6 ÷ 4 200 ≈ 5,9 %. L'exclusion fait baisser la moyenne de 341,7 à 328,8 et la médiane de 332,5 à 319,5, mais la conclusion reste la même : le taux d'occupation est d'environ 6 %, très inférieur à la capacité. De plus, exclure des semaines parce qu'elles sont hautes est discutable : les portes ouvertes et les compétitions font partie de l'exploitation normale et devraient plutôt être traitées comme des événements récurrents à planifier. L'argument de la direction ne tient pas, même en modifiant l'échantillon.
3. La direction veut instaurer des plages payantes. Propose un indicateur plus pertinent que la moyenne hebdomadaire pour décider, et explique comment le calculer avec les données disponibles.
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La moyenne hebdomadaire masque les pointes : la piscine peut être saturée à certaines heures même si la moyenne est faible. L'indicateur pertinent est le taux d'occupation horaire maximal, c'est-à-dire le nombre de baigneurs simultanés à l'heure la plus achalandée, comparé à la capacité de 60.
Calcul : il faudrait répartir les baigneurs de chaque semaine selon l'heure d'arrivée, puis, pour chaque heure, multiplier le nombre d'arrivées par la durée moyenne de 0,75 h pour estimer les présences simultanées. Par exemple, si une heure compte 90 arrivées, les présences simultanées estimées sont 90 × 0,75 ≈ 67,5, ce qui dépasse 60 : il y a saturation. On compare ensuite ce maximum à 60 pour chaque plage. Les plages où le ratio dépasse 1 sont celles qui justifient une tarification ou une réservation. Sans données horaires, on ne peut pas trancher ; il faut donc recommander la collecte de ces données avant d'ajouter des plages payantes.