Le terrain rectangulaire et la clôture
Un propriétaire veut clôturer un terrain rectangulaire dont la longueur dépasse la largeur de 14 m. Il dispose d'un budget de 4 800 $ pour la clôture, installée à 38 $ le mètre linéaire, et il veut laisser une ouverture de 4 m pour un portail sans clôture. Il envisage aussi de planter une haie le long de la diagonale, à 12 $ le mètre. Un voisin lui affirme que si la largeur mesure 20 m, la clôture coûtera exactement le budget. Le propriétaire se demande aussi si le terrain pourrait être un carré ; il a mesuré la diagonale à 40 m et croit que cela prouve que le terrain est carré. Enfin, il veut savoir quelle surface il pourrait perdre si la largeur était réduite de 3 m tout en gardant la même longueur.
1. En notant x la largeur, exprime le périmètre clôturé et le coût de la clôture en fonction de x. Vérifie l'affirmation du voisin pour x = 20 m.
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Largeur = x ; longueur = x + 14. Périmètre du rectangle = 2(x + x + 14) = 4x + 28. On retire l'ouverture de 4 m : longueur clôturée = 4x + 28 − 4 = 4x + 24. Coût = 38(4x + 24) = 152x + 912.
Pour x = 20 : coût = 152 × 20 + 912 = 3 040 + 912 = 3 952 $. Ce n'est pas 4 800 $ ; le voisin se trompe. Le budget serait atteint si 152x + 912 = 4 800, soit 152x = 3 888, x ≈ 25,58 m. À x = 20 m, il reste 848 $ de marge.
2. Le propriétaire mesure la diagonale à 40 m et conclut que le terrain est carré. Réfute cette conclusion à l'aide du théorème de Pythagore et de la contrainte longueur = largeur + 14.
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Si le terrain était carré, la diagonale vaudrait x√2. Avec une diagonale de 40 m, on aurait x = 40 ÷ √2 ≈ 28,28 m, et la longueur serait égale à la largeur, ce qui contredit l'énoncé (longueur = largeur + 14).
Utilisons plutôt la relation réelle : diagonale² = x² + (x + 14)². Avec diagonale = 40 : 1 600 = x² + x² + 28x + 196, donc 2x² + 28x − 1 404 = 0, soit x² + 14x − 702 = 0. Discriminant : 196 + 2 808 = 3 004 ; √3 004 ≈ 54,81. x = (−14 + 54,81) ÷ 2 ≈ 20,4 m. La longueur serait alors ≈ 34,4 m. Le terrain n'est pas carré : une diagonale de 40 m est parfaitement compatible avec un rectangle de 20,4 m sur 34,4 m. La diagonale seule ne prouve rien ; il faut aussi vérifier les côtés.
3. Calcule la perte de surface si la largeur diminue de 3 m, en conservant la longueur, pour x = 20,4 m. Compare cette perte à la surface initiale et commente.
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Avec x ≈ 20,4 m : longueur = 34,4 m. Surface initiale = 20,4 × 34,4 ≈ 701,8 m². Nouvelle largeur = 17,4 m ; longueur inchangée = 34,4 m. Nouvelle surface = 17,4 × 34,4 ≈ 598,6 m². Perte = 701,8 − 598,6 ≈ 103,2 m², soit environ 14,7 % de la surface initiale.
Vérification par la formule : la perte vaut 3 × longueur = 3 × 34,4 = 103,2 m², ce qui confirme le calcul. Une réduction de 3 m sur la largeur (environ 15 %) fait perdre près de 15 % de la surface : la perte est proportionnelle à la réduction de largeur, pas au carré. Le propriétaire doit en tenir compte s'il cède une bande de terrain pour un trottoir.