Le tirage au sort du tournoi de ballon-panier
Un tournoi scolaire de ballon-panier réunit 12 équipes : 5 de niveau senior, 4 de niveau junior et 3 de niveau cadet. Un tirage au sort détermine les affrontements du premier tour. On tire d'abord une équipe au hasard, puis une deuxième, sans remise, pour former le premier match. Le comité veut savoir si deux équipes de même niveau risquent de s'affronter dès le premier tour. Il envisage aussi une loterie de financement : 400 billets vendus à 5 $ chacun, un gros lot de 600 $ et deux lots de consolation de 150 $. Enfin, un joueur affirme que, parce qu'il y a 5 équipes senior sur 12, la probabilité de tirer une équipe senior est de 5/12 « à chaque tirage, même après le premier ». Le comité se demande si cette affirmation est correcte et si la loterie est rentable pour l'organisation.
1. Calcule la probabilité que les deux équipes tirées soient de même niveau. Montre l'arbre ou les cas favorables.
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On calcule séparément chaque niveau, puis on additionne (événements incompatibles).
Senior : P = (5/12) × (4/11) = 20/132. Junior : (4/12) × (3/11) = 12/132. Cadet : (3/12) × (2/11) = 6/132.
Total : (20 + 12 + 6)/132 = 38/132 ≈ 0,288, soit environ 28,8 %.
Vérification par les cas favorables : nombre total de paires = C(12,2) = 66. Paires de même niveau = C(5,2) + C(4,2) + C(3,2) = 10 + 6 + 3 = 19. Probabilité = 19/66 ≈ 0,288. Les deux méthodes concordent. Il y a donc un peu plus d'une chance sur quatre d'avoir un affrontement de même niveau au premier tour.
2. Le joueur affirme que la probabilité de tirer une équipe senior reste 5/12 au deuxième tirage. Évalue cette affirmation et calcule la probabilité que le premier match oppose exactement une équipe senior et une équipe junior.
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L'affirmation est fausse en général : le tirage se fait sans remise. Si la première équipe tirée est senior, il reste 4 senior sur 11 ; si elle ne l'est pas, il reste 5 senior sur 11. La probabilité conditionnelle change donc. La probabilité globale de tirer un senior au deuxième tirage est toutefois (5/12)(4/11) + (7/12)(5/11) = 20/132 + 35/132 = 55/132 = 5/12 : en moyenne, elle reste 5/12, mais ce n'est pas vrai après avoir observé le premier tirage. L'affirmation est donc vraie en probabilité marginale, fausse en probabilité conditionnelle.
Match senior-junior : deux ordres possibles. Senior puis junior : (5/12)(4/11) = 20/132. Junior puis senior : (4/12)(5/11) = 20/132. Total = 40/132 ≈ 0,303, soit environ 30,3 %.
3. La loterie vend 400 billets à 5 $. Calcule l'espérance de gain d'un acheteur et le profit attendu de l'organisation. La loterie est-elle rentable ?
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Recettes : 400 × 5 = 2 000 $. Lots : 600 + 2 × 150 = 900 $. Profit attendu de l'organisation : 2 000 − 900 = 1 100 $, avant tout frais d'impression ou de taxes.
Espérance de gain d'un acheteur : P(gros lot) = 1/400 ; P(consolation) = 2/400. E = (1/400)(600) + (2/400)(150) = 1,5 + 0,75 = 2,25 $. Le billet coûte 5 $ : l'acheteur perd en moyenne 2,75 $ par billet, ce qui correspond exactement au profit de l'organisation par billet (1 100 ÷ 400 = 2,75 $).
La loterie est donc rentable pour l'organisation, mais il faut vérifier les coûts réels (impression, permis) : si ces coûts dépassent 1 100 $, l'opération devient déficitaire. Le comité devrait aussi vérifier la réglementation sur les loteries scolaires.