Le forfait cellulaire et la consommation de données
Une famille compare trois forfaits cellulaires pour quatre appareils. Le forfait A coûte 35 $ par appareil par mois avec 20 Go inclus, puis 4 $ par Go excédentaire. Le forfait B coûte 50 $ par appareil avec 50 Go inclus, puis 2 $ par Go excédentaire. Le forfait C est un forfait familial à 140 $ par mois pour les quatre appareils, avec 100 Go partagés, puis 3 $ par Go excédentaire. La famille a relevé sa consommation mensuelle : 38 Go, 52 Go, 47 Go et 61 Go, pour un total de 198 Go. Elle se demande quel forfait choisir et si réduire sa consommation de 15 % changerait la réponse. Elle veut aussi savoir à partir de quelle consommation le forfait C devient le plus avantageux.
1. Calcule le coût mensuel de chaque forfait pour la consommation actuelle de 198 Go, en répartissant la consommation par appareil.
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Forfait A : 4 × 35 = 140 $ de base. Excédents par appareil : 38 → 18 Go ; 52 → 32 ; 47 → 27 ; 61 → 41. Total excédent = 118 Go × 4 $ = 472 $. Coût total = 140 + 472 = 612 $.
Forfait B : 4 × 50 = 200 $. Excédents : 38 → 0 ; 52 → 2 ; 47 → 0 ; 61 → 11. Total = 13 Go × 2 $ = 26 $. Coût = 200 + 26 = 226 $.
Forfait C : 140 $ pour 100 Go partagés. Excédent = 198 − 100 = 98 Go × 3 $ = 294 $. Coût = 140 + 294 = 434 $.
Classement : B (226 $) < C (434 $) < A (612 $). Le forfait B est le plus avantageux dans cette situation.
2. La famille réduit sa consommation de 15 %. Recalcule les coûts et dis si le classement change.
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Nouvelle consommation totale : 198 × 0,85 = 168,3 Go. En répartissant proportionnellement : 38 × 0,85 = 32,3 ; 52 × 0,85 = 44,2 ; 47 × 0,85 = 39,95 ; 61 × 0,85 = 51,85.
A : excédents 12,3 + 24,2 + 19,95 + 31,85 = 88,3 Go × 4 $ = 353,20 $. Coût = 140 + 353,20 = 493,20 $. B : excédents : 0 + 0 + 0 + 1,85 = 1,85 Go × 2 $ = 3,70 $. Coût = 200 + 3,70 = 203,70 $. C : excédent = 168,3 − 100 = 68,3 Go × 3 $ = 204,90 $. Coût = 140 + 204,90 = 344,90 $.
Classement : B (203,70 $) < C (344,90 $) < A (493,20 $). Le classement ne change pas : B reste le plus avantageux, mais l'écart avec C se réduit de 208 $ à 141 $.
3. Détermine, en fonction de la consommation totale T (en Go), le seuil à partir duquel le forfait C devient moins cher que le forfait B, en supposant une répartition uniforme de la consommation.
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Avec une répartition uniforme, chaque appareil consomme T/4 Go. Pour B, l'excédent par appareil est max(0, T/4 − 50). Le coût de B est 200 + 2 × 4 × max(0, T/4 − 50) = 200 + 8 × max(0, T/4 − 50).
Tant que T/4 ≤ 50, c'est-à-dire T ≤ 200 Go, B coûte 200 $. Or C coûte 140 $ si T ≤ 100, puis 140 + 3(T − 100). Comparons : pour T entre 100 et 200, C = 140 + 3(T − 100) et B = 200. C < B lorsque 140 + 3T − 300 < 200, soit 3T < 360, T < 120. Donc C est moins cher que B pour T < 120 Go (et plus cher entre 120 et 200 Go).
Au-delà de 200 Go, B = 200 + 8(T/4 − 50) = 2T − 200 ; C = 3T − 160. C < B lorsque 3T − 160 < 2T − 200, soit T < −40 : impossible. Conclusion : C n'est le plus avantageux que pour une consommation inférieure à 120 Go, ce qui est contre-intuitif mais cohérent avec les calculs précédents, où B gagne à 198 Go et à 168,3 Go.