Algèbre : expressions algébriques, équations et inéquations
Le volet algébrique de l'épreuve porte sur la manipulation d'expressions, la factorisation, la résolution d'équations et d'inéquations du premier et du second degré, ainsi que sur les systèmes d'équations à deux variables. Les questions sont presque toujours contextualisées : la démarche écrite et la justification comptent autant que la réponse finale.
Lois et manipulations
- Produit de puissances : a^m · a^n = a^(m+n) ; puissance d'une puissance : (a^m)^n = a^(mn) ; exposant négatif : a^(−n) = 1/a^n, avec a ≠ 0.
- Multiplication de polynômes : distributivité terme à terme. Division par un monôme : on divise chaque terme du polynôme.
- Factorisation : facteur commun, différence de deux carrés a² − b² = (a − b)(a + b), trinôme x² + bx + c par recherche de deux nombres de somme b et de produit c.
- Expression rationnelle : on factorise, on simplifie, puis on note les restrictions (dénominateur ≠ 0).
Équations et inéquations
Une inéquation se résout comme une équation, sauf que multiplier ou diviser les deux membres par un nombre négatif renverse le sens de l'inégalité. Pour le second degré, on ramène à ax² + bx + c = 0, puis on factorise ou on applique x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a ; le signe du trinôme se lit ensuite sur une droite numérique à partir des zéros, ce qui donne directement la solution d'une inéquation.
Exemple
Simplifier (x² − 9) / (x² + x − 12). Numérateur : différence de carrés, x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Dénominateur : deux nombres de somme 1 et de produit −12, soit 4 et −3, donc x² + x − 12 = (x + 4)(x − 3). On obtient (x − 3)(x + 3) / [(x + 4)(x − 3)] = (x + 3)/(x + 4), avec x ≠ 3 et x ≠ −4.
Pièges qui coûtent des points
- Oublier les restrictions : la simplification n'est valide que si x ≠ 3 et x ≠ −4.
- Ne pas renverser le sens de l'inégalité après multiplication par un négatif.
- Écrire x² − 9 = (x − 3)², ou vouloir factoriser x² + 9 dans les réels.
- Distribuer un signe négatif sur un seul terme : −(2x − 5) = −2x + 5.
- Élever les deux membres au carré sans vérifier les solutions parasites obtenues.