Fonctions et relations : linéaire, quadratique, exponentielle, en escalier, rationnelle, périodique
Ce domaine est le plus lourd de l'épreuve : on y teste la reconnaissance d'un type de fonction à partir d'un contexte, d'une table, d'un graphique ou d'une équation, puis l'exploitation de ses paramètres (taux de variation, sommet, valeur initiale, période, asymptotes) pour répondre à une question.
Les six modèles à distinguer
- Linéaire : f(x) = ax + b. a est le taux de variation (Δy/Δx), b l'ordonnée à l'origine ; le zéro vaut −b/a.
- Quadratique : forme canonique f(x) = a(x − h)² + k, sommet (h, k), axe de symétrie x = h ; forme factorisée f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) qui donne les zéros ; forme générale ax² + bx + c.
- Exponentielle : f(x) = a · c^x, où a = f(0) est la valeur initiale ; croissance si c > 1, décroissance si 0 < c < 1 ; asymptote y = 0.
- En escalier : f(x) = a · [b(x − h)] + k, avec [ ] la partie entière ; les « marches » ont une longueur de 1/|b|.
- Rationnelle : f(x) = k/x (variation inverse) ou forme translatée, avec asymptotes verticale et horizontale.
- Périodique : f(x) = a · sin(b(x − h)) + k ; amplitude |a|, période 2π/|b|, axe d'oscillation y = k.
Exemple
Soit f(x) = −2(x − 3)² + 8. Le sommet est (3, 8), l'axe de symétrie x = 3, et comme a = −2 < 0, la parabole ouvre vers le bas : le maximum vaut 8. Zéros : −2(x − 3)² + 8 = 0 donne (x − 3)² = 4, donc x = 1 ou x = 5. L'image est ]−∞, 8].
Pièges qui coûtent des points
- Confondre le rôle de a : valeur initiale dans l'exponentielle, paramètre d'ouverture dans la forme canonique.
- Lire la période d'une sinusoïde sans diviser par |b|.
- Oublier que la fonction en escalier est définie par intervalles et que les extrémités ouvertes ou fermées changent la réponse.
- Donner le sommet alors que la question demande les zéros, ou l'inverse.
- Ignorer les restrictions du contexte : décimales non permises, valeurs négatives impossibles, domaine limité.