Géométrie : figures planes et solides, mesure, similitudes et congruence
Le domaine géométrique évalue ta capacité à calculer des mesures dans les figures planes et les solides, à reconnaître des figures isométriques ou semblables et à utiliser les relations du triangle rectangle. Les mises en situation combinent souvent plusieurs notions : une similitude et un volume, ou une relation métrique et un théorème de Thalès.
Isométries et similitudes
- Une isométrie (translation, rotation, réflexion) conserve toutes les mesures et les angles : les figures sont isométriques, donc congruentes.
- Une similitude de rapport k multiplie les longueurs par k, les aires par k² et les volumes par k³. C'est le point le plus souvent mal appliqué.
Relations dans le triangle
- Relation de Pythagore : dans un triangle rectangle, c² = a² + b², où c est l'hypoténuse.
- Relations métriques : la hauteur h issue de l'angle droit vérifie h² = m · n, où m et n sont les projections des cathètes sur l'hypoténuse ; chaque cathète au carré égale l'hypoténuse multipliée par sa projection.
- Théorème de Thalès : deux droites parallèles coupées par deux sécantes déterminent des rapports de segments égaux.
- Rapports trigonométriques : sin A = opposé/hypoténuse, cos A = adjacent/hypoténuse, tan A = opposé/adjacent.
Mesure
Aire du triangle = b · h / 2 ; aire du disque = πr² ; volume du cylindre = πr²h ; volume du cône et de la pyramide = aire de la base × hauteur / 3 ; volume de la sphère = 4πr³/3.
Exemple
Deux prismes sont semblables. Le petit a une hauteur de 4 cm et un volume de 24 cm³ ; le grand a une hauteur de 10 cm. Rapport de similitude : k = 10/4 = 2,5. Les volumes suivent k³ : V = 24 × 2,5³ = 24 × 15,625 = 375 cm³. Une aire de face serait multipliée par k² = 6,25 seulement.
Pièges qui coûtent des points
- Appliquer k à une aire ou à un volume au lieu de k² ou k³.
- Utiliser Thalès sans avoir vérifié que les droites sont parallèles.
- Confondre rayon et diamètre, ou oublier de convertir les unités (1 m³ = 1 000 L = 1 000 000 cm³).
- Arrondir dès les étapes intermédiaires et fausser le résultat final.