Mathématiques : fonctions, logarithmes, probabilités
L'épreuve de mathématiques évalue les fonctions (limites, dérivées, variations), les logarithmes et exponentielles, la trigonométrie et les probabilités. C'est une épreuve de méthode : la plupart des points se perdent sur les conditions de définition et les vérifications.
Fonctions et dérivées
- Déterminer le domaine de définition avant de résoudre ; toute solution hors domaine est rejetée.
- Dérivées usuelles : (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ ; (ln x)' = 1/x ; (eˣ)' = eˣ ; (sin x)' = cos x.
- f' > 0 sur un intervalle → f croissante ; f'(x₀) = 0 avec changement de signe → extremum.
Logarithmes et exponentielles
- ln(ab) = ln a + ln b ; ln(a/b) = ln a − ln b ; ln(aⁿ) = n ln a ; ln 1 = 0.
- log₂ 8 = 3 signifie 2³ = 8 ; log₂ x n'existe que pour x > 0.
Probabilités et dénombrement
- P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) ; P(Ā) = 1 − P(A).
- Tirages simultanés : combinaisons C(n,p) = n!/[p!(n−p)!] ; tirages successifs sans remise : multiplier les probabilités conditionnelles.
Exemple travaillé
Résoudre log₂ x + log₂(x − 2) = 3. Conditions : x > 0 et x − 2 > 0, donc x > 2. En combinant : log₂[x(x − 2)] = 3, soit x(x − 2) = 2³ = 8. On obtient x² − 2x − 8 = 0, de discriminant 4 + 32 = 36, donc x = (2 ± 6)/2, soit x = 4 ou x = −2. La racine −2 est exclue par le domaine. Solution unique : x = 4. Vérification : log₂ 4 + log₂ 2 = 2 + 1 = 3, ce qui est exact.
Pièges
- Résoudre sans poser le domaine, puis accepter une racine étrangère.
- Confondre log décimal et ln, ou oublier que log₂ 1 = 0.
- Diviser les deux membres par une expression qui peut s'annuler.
- Appliquer des formules de dérivation trigonométrique à des angles en degrés.
- Utiliser un arrangement là où l'ordre n'a pas d'importance.