Mathématiques - algèbre, fonctions et probabilités
L’épreuve de mathématiques du concours de l’UNILU évalue les acquis du secondaire scientifique : calcul algébrique, équations et inéquations, fonctions et dérivées, trigonométrie, suites et probabilités. La clarté du raisonnement compte autant que le résultat.
Algèbre
- Une équation du second degré ax² + bx + c = 0 a pour discriminant Δ = b² − 4ac.
- Si Δ > 0 : deux racines réelles x = (−b ± √Δ)/(2a) ; si Δ = 0 : une racine double ; si Δ < 0 : aucune racine réelle.
- Un système de deux équations linéaires se résout par substitution, combinaison ou déterminant.
Fonctions et dérivées
- f′(x) > 0 sur un intervalle signifie que f est croissante sur cet intervalle.
- Les extrema locaux apparaissent là où la dérivée s’annule en changeant de signe.
- La tangente au point d’abscisse a a pour équation y = f(a) + f′(a)(x − a).
Trigonométrie et probabilités
- Cercle trigonométrique : cos²x + sin²x = 1 ; les angles sont en radians dans les formules de dérivation.
- Probabilité d’un événement = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles, lorsque les issues sont équiprobables.
Exemple raisonné
Soit f(x) = x³ − 3x + 1. On calcule f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). La dérivée est positive sur ]−∞, −1[, négative sur ]−1, 1[ et positive sur ]1, +∞[. Donc f est croissante, puis décroissante, puis croissante. En x = −1, f(−1) = −1 + 3 + 1 = 3 : maximum local. En x = 1, f(1) = 1 − 3 + 1 = −1 : minimum local.
Pièges fréquents
- Étudier le signe de f au lieu de celui de f′.
- Oublier le domaine de définition, notamment pour les logarithmes et les racines.
- Mélanger degrés et radians dans les dérivées trigonométriques.
- Confondre arrangements (ordre compte) et combinaisons (ordre ne compte pas).
Poser un tableau de signes systématique évite la plupart des erreurs d’extrema et d’inéquations.