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Question 1Mathématiques
On considère la suite (u_n) définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = 2u_n + 3. Quelle est la valeur de u_2 ?
- 9
- 11
- 13 Correct answer.
- 7
Explanation
On calcule terme à terme : u_1 = 2×1 + 3 = 5, puis u_2 = 2×5 + 3 = 13. La relation est une récurrence affine, chaque terme dépend du précédent.
Question 2Mathématiques
Quelle est la dérivée de la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x³ − 3x + 2 ?
- 3x² − 3 Correct answer.
- 3x² − 3x
- 3x² + 2
- x² − 3
Explanation
La dérivée de x³ est 3x², celle de −3x est −3 et celle de la constante 2 est 0. On obtient donc f'(x) = 3x² − 3.
Question 3Mathématiques
Dans un repère orthonormé, on donne A(1 ; 2) et B(4 ; 6). Quelle est la distance AB ?
- 5 Correct answer.
- √7
- 7
- 25
Explanation
On applique AB = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²) = √(3² + 4²) = √25 = 5. Le triplet 3-4-5 est un triplet pythagoricien classique.
Question 4Mathématiques
Quelle est la solution dans ℝ de l'équation 3x − 7 = 2x + 5 ?
- −12
- 2
- 12 Correct answer.
- 6
Explanation
En regroupant les termes en x à gauche et les constantes à droite, on obtient 3x − 2x = 5 + 7, soit x = 12. La vérification donne 3×12 − 7 = 29 et 2×12 + 5 = 29.
Question 5Mathématiques
Quelle est la valeur de log₁₀(1000) ?
- 2
- 10
- 3 Correct answer.
- 100
Explanation
Par définition, log₁₀(1000) est l'exposant a tel que 10^a = 1000. Or 1000 = 10³, donc log₁₀(1000) = 3.
Question 6Mathématiques
Quelle est la limite quand n tend vers +∞ de la suite u_n = (3n + 1)/(n + 2) ?
- 1
- +∞
- 0
- 3 Correct answer.
Explanation
On divise numérateur et dénominateur par n : u_n = (3 + 1/n)/(1 + 2/n). Les termes 1/n et 2/n tendent vers 0, donc la limite vaut 3/1 = 3.
Question 7Mathématiques
Un sac contient 5 boules rouges et 3 boules blanches indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule blanche ?
- 3/8 Correct answer.
- 1/3
- 3/5
- 5/8
Explanation
L'univers comporte 8 boules équiprobables, dont 3 blanches. La probabilité cherchée est donc 3/8, rapport des cas favorables sur les cas possibles.
Question 8Mathématiques
Quelle est la forme canonique du trinôme f(x) = x² − 4x + 1 ?
- (x − 4)² − 15
- (x − 2)² + 1
- (x − 2)² − 3 Correct answer.
- (x + 2)² − 3
Explanation
On reconnaît le début du carré (x − 2)² = x² − 4x + 4. En retranchant 3, on obtient x² − 4x + 1 = (x − 2)² − 3.
Question 9Mathématiques
On considère la fonction f(x) = (2x − 1)/(x + 3). Quelle est l'équation de son asymptote verticale ?
- x = −3 Correct answer.
- y = 2
- x = 1/2
- x = 3
Explanation
L'asymptote verticale correspond à la valeur interdite qui annule le dénominateur sans annuler le numérateur. Ici x + 3 = 0 donne x = −3, et le numérateur y vaut −7, non nul.
Question 10Mathématiques
Dans une classe de 30 élèves, on choisit un bureau de 3 élèves (président, secrétaire, trésorier). Combien de bureaux différents peut-on former ?
- 27
- 24 360 Correct answer.
- 90
- 4 060
Explanation
L'ordre des postes compte, il s'agit donc d'un arrangement : A(30,3) = 30 × 29 × 28 = 24 360. On multiplie les choix successifs sans remise.
Question 11Mathématiques
Soit z = 1 + i√3. Quel est le module de z ?
- 2 Correct answer.
- 1 + √3
- √3
- 4
Explanation
Le module vaut |z| = √(1² + (√3)²) = √(1 + 3) = √4 = 2. On additionne les carrés des parties réelle et imaginaire avant de prendre la racine.
Question 12Mathématiques
Quelle est la primitive sur ]0 ; +∞[ de la fonction f(x) = 1/x + 2x ?
- ln(x) + 2 + C
- −1/x² + x² + C
- ln(x) + 2x² + C
- ln(x) + x² + C Correct answer.
Explanation
Une primitive de 1/x est ln(x) sur ]0 ; +∞[, et une primitive de 2x est x². On ajoute la constante d'intégration C.
Question 13Mathématiques
On lance un dé équilibré à six faces. Soit A l'événement « obtenir un nombre pair » et B l'événement « obtenir un multiple de 3 ». Quelle est la probabilité de A ∩ B ?
- 1/2
- 2/3
- 1/3
- 1/6 Correct answer.
Explanation
A = {2, 4, 6} et B = {3, 6}. L'intersection se réduit à {6}, donc P(A ∩ B) = 1/6. Les événements ne sont pas indépendants puisque P(A)P(B) = 1/2 × 1/3 = 1/6, valeur égale ici par coïncidence.
Question 14Mathématiques
Quelle est la solution de l'équation ln(x) + ln(x − 1) = ln(6) dans son ensemble de définition ?
- x = 6
- x = 3 Correct answer.
- x = 2
- x = −2
Explanation
Le domaine impose x > 1. En utilisant ln(a) + ln(b) = ln(ab), on obtient x(x − 1) = 6, soit x² − x − 6 = 0, de racines 3 et −2. Seule x = 3 appartient au domaine.
Question 15Mathématiques
On considère la suite arithmétique de premier terme u_0 = 5 et de raison r = −2. Quelle est la somme des 10 premiers termes (de u_0 à u_9) ?
- −35
- −40 Correct answer.
- 40
- −20
Explanation
Pour une suite arithmétique, S = nombre de termes × (premier + dernier)/2. Ici u_9 = 5 + 9×(−2) = −13, donc S = 10 × (5 − 13)/2 = −40.
Question 16Mathématiques
Dans le plan complexe, l'ensemble des points d'affixe z tels que |z − 2| = 3 est :
- un cercle de centre 3 et de rayon 2
- une droite d'équation x = 2
- un cercle de centre 2 et de rayon 3 Correct answer.
- une droite verticale passant par 3
Explanation
|z − z_0| = r est l'équation du cercle de centre z_0 et de rayon r. Ici z_0 = 2 et r = 3, ce qui donne un cercle de centre le point d'affixe 2 et de rayon 3.
Question 17Mathématiques
Quelle est la valeur de la dérivée de f(x) = x·e^x au point x = 0 ?
- 2
- 1 Correct answer.
- e
- 0
Explanation
Par la règle du produit, f'(x) = e^x + x·e^x = e^x(1 + x). En x = 0, on obtient f'(0) = 1 × 1 = 1.
Question 18Mathématiques
On considère la fonction f(x) = x² − 6x + 5. Sur quel intervalle f est-elle décroissante ?
- [1 ; 5]
- ]−∞ ; 3] Correct answer.
- [3 ; +∞[
- ℝ entier
Explanation
La parabole admet un axe de symétrie x = −b/(2a) = 6/2 = 3 et s'ouvre vers le haut car a > 0. Elle est donc décroissante sur ]−∞ ; 3] et croissante sur [3 ; +∞[.
Question 19Mathématiques
Dans un triangle ABC rectangle en A, on sait que AB = 3 et AC = 4. Quelle est la valeur de cos(B) ?
- 3/5 Correct answer.
- 3/4
- 4/3
- 4/5
Explanation
L'hypoténuse vaut BC = √(3² + 4²) = 5. L'angle B est adjacent au côté AB et opposé à AC, donc cos(B) = AB/BC = 3/5.
Question 20Mathématiques
Quelle est la valeur de la somme Σ (k de 1 à n) de k, pour n = 20 ?
- 400
- 190
- 210 Correct answer.
- 200
Explanation
La formule de la somme des n premiers entiers est n(n + 1)/2. Pour n = 20, on obtient 20 × 21 / 2 = 210.
Question 21Mathématiques
Soit f une fonction continue et positive sur [0 ; 2] telle que ∫₀² f(x)dx = 6. Quelle est la valeur moyenne de f sur [0 ; 2] ?
- 3 Correct answer.
- 6
- 1,5
- 12
Explanation
La valeur moyenne est (1/(b − a)) × ∫ₐᵇ f(x)dx. Ici (1/2) × 6 = 3, ce qui correspond à la hauteur du rectangle de même aire.
Question 22Mathématiques
On considère la fonction f(x) = (x − 1)/(x + 2). Quelle est l'équation de son asymptote horizontale ?
- y = 1 Correct answer.
- y = 0
- y = −2
- y = 2
Explanation
Quand x tend vers ±∞, f(x) tend vers le rapport des coefficients dominants, soit 1/1 = 1. L'asymptote horizontale a donc pour équation y = 1.
Question 23Mathématiques
Soit z = √2 + i√2. Quelle est l'écriture exponentielle de z ?
- 2e^{iπ/4} Correct answer.
- √2 e^{iπ/4}
- 4e^{iπ/4}
- 2e^{iπ/2}
Explanation
Le module est |z| = √(2 + 2) = 2. L'argument θ vérifie cos θ = √2/2 et sin θ = √2/2, donc θ = π/4. Ainsi z = 2e^{iπ/4}.
Question 24Mathématiques
Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules noires. On tire successivement deux boules sans remise. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges ?
- 4/25
- 1/5
- 4/10
- 2/15 Correct answer.
Explanation
La probabilité vaut (4/10) × (3/9) = 12/90 = 2/15, car le second tirage se fait sans remise sur 9 boules dont 3 rouges.
Question 25Mathématiques
Soit la fonction f(x) = x³ − 3x. Quel est le tableau de signes correct de f'(x) sur ℝ ?
- f'(x) > 0 sur ]−∞ ; −1[ ∪ ]1 ; +∞[ et f'(x) < 0 sur ]−1 ; 1[ Correct answer.
- f'(x) > 0 sur ]−1 ; 1[ et f'(x) < 0 ailleurs
- f'(x) > 0 sur ℝ entier
- f'(x) > 0 sur ]0 ; +∞[ seulement
Explanation
On a f'(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Le trinôme est positif à l'extérieur des racines −1 et 1, négatif entre elles. La fonction est donc croissante puis décroissante puis croissante.
Question 26Mathématiques
On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = (2x + 1)/(x² + 1). Quelle est la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞ ?
- 2
- 0 Correct answer.
- +∞
- 1
Explanation
Le degré du dénominateur (2) est supérieur au degré du numérateur (1), donc le quotient tend vers 0 quand x tend vers l'infini. On peut aussi écrire f(x) = (2x+1)/(x²+1) = (2/x + 1/x²)/(1 + 1/x²), qui tend vers 0/1 = 0.
Question 27Mathématiques
Soit la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x² − 2ln(x). Quelle est l'expression de f'(x) ?
- 2x − 2/x Correct answer.
- x − 2/x
- 2x − 1/x
- 2x − 2ln(x)
Explanation
La dérivée de x² est 2x et la dérivée de ln(x) est 1/x, donc la dérivée de −2ln(x) est −2/x. En additionnant, on obtient f'(x) = 2x − 2/x sur ]0 ; +∞[.
Question 28Mathématiques
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, on considère le point M d'affixe z = −1 + i. Quel est l'argument principal de z, exprimé en radians ?
- 3π/4 Correct answer.
- π/4
- 5π/4
- −π/4
Explanation
Le point M(−1 ; 1) se situe dans le deuxième quadrant, à égale distance des axes en valeur absolue. Son argument principal est donc π − π/4 = 3π/4.
Question 29Mathématiques
Une urne contient 3 boules rouges, 2 boules vertes et 5 boules jaunes, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule qui ne soit pas jaune ?
- 3/10
- 7/10
- 1/2 Correct answer.
- 1/5
Explanation
Il y a 10 boules en tout, dont 5 jaunes, donc 5 boules non jaunes (3 rouges et 2 vertes). La probabilité cherchée est 5/10 = 1/2.
Question 30Mathématiques
On considère la suite (u_n) définie pour tout entier n ≥ 1 par u_n = (n + 3)/(2n). Quelle est la limite de (u_n) quand n tend vers +∞ ?
- +∞
- 3
- 1/2 Correct answer.
- 0
Explanation
En divisant numérateur et dénominateur par n, on obtient u_n = (1 + 3/n)/2, expression qui tend vers 1/2. Les termes 3/n deviennent négligeables devant 1 quand n grandit.
Question 31Mathématiques
On considère la suite géométrique (v_n) de premier terme v_0 = 3 et de raison q = 1/2. Quelle est la somme S = v_0 + v_1 + … + v_7 des 8 premiers termes ?
- 6
- 765/256
- 3/256
- 765/128 Correct answer.
Explanation
La somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison q ≠ 1 vaut v_0(1 − q^n)/(1 − q). Ici S = 3(1 − (1/2)^8)/(1 − 1/2) = 6(1 − 1/256) = 6 × 255/256 = 765/128.
Question 32Mathématiques
Dans le plan complexe, on considère l'équation z² − 2z + 4 = 0 d'inconnue complexe z. Quelles sont ses solutions ?
- z = 2 et z = −2
- z = −1 + i√3 et z = −1 − i√3
- z = 1 + i√3 et z = 1 − i√3 Correct answer.
- z = 2i et z = −2i
Explanation
Le discriminant vaut Δ = b² − 4ac = 4 − 16 = −12, donc Δ = (2i√3)². Les solutions complexes sont alors z = (2 ± 2i√3)/2 = 1 ± i√3.
Question 33Mathématiques
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = xe^(−x). Quelle est la valeur de f'(x) ?
- −xe^(−x)
- e^(−x)
- (1 − x)e^(−x) Correct answer.
- (1 + x)e^(−x)
Explanation
On applique la formule de dérivation d'un produit (uv)' = u'v + uv' avec u(x) = x et v(x) = e^(−x), dont la dérivée est −e^(−x). On obtient f'(x) = e^(−x) − xe^(−x) = (1 − x)e^(−x).
Question 34Mathématiques
On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x³ − 3x² + 2. Quel est le sens de variation de f sur l'intervalle ]2 ; +∞[ ?
- f est strictement croissante sur ]2 ; +∞[ Correct answer.
- f est strictement décroissante sur ]2 ; +∞[
- f est constante sur ]2 ; +∞[
- f est croissante puis décroissante sur ]2 ; +∞[
Explanation
On calcule f'(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2). Pour x > 2, les deux facteurs x et (x − 2) sont strictement positifs, donc f'(x) > 0 et f est strictement croissante sur ]2 ; +∞[.
Question 35Mathématiques
On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = ln(x)/x. Quelle est la limite de f(x) quand x tend vers +∞ ?
- 1
- e
- 0 Correct answer.
- +∞
Explanation
On sait que la fonction ln croît plus lentement que toute puissance de x, donc ln(x)/x tend vers 0 quand x tend vers +∞. C'est une forme indéterminée « ∞/∞ » levée par la croissance comparée.
Question 36Mathématiques
Quelle est la valeur de l'intégrale ∫₁^e (1/x) dx ?
- e
- e − 1
- 1 Correct answer.
- ln(2)
Explanation
Une primitive de 1/x sur ]0 ; +∞[ est ln(x). On obtient donc ∫₁^e (1/x) dx = ln(e) − ln(1) = 1 − 0 = 1.
Question 37Mathématiques
Dans un repère orthonormé, on considère les points A(1 ; 2), B(4 ; 6) et C(7 ; 2). Quelle est la nature du triangle ABC ?
- Isocèle en B Correct answer.
- Rectangle en B
- Équilatéral
- Rectangle en A
Explanation
On calcule AB² = 3² + 4² = 25 et BC² = 3² + (−4)² = 25, donc AB = BC = 5. Le triangle est isocèle en B ; il n'est pas rectangle car AC² = 36 et 25 + 25 ≠ 36.
Question 38Mathématiques
Une urne contient 4 boules blanches et 2 boules noires indiscernables au toucher. On tire simultanément deux boules. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules de même couleur ?
- 2/5
- 8/15
- 7/15 Correct answer.
- 1/3
Explanation
Il y a C(6,2) = 15 tirages possibles. Les tirages de même couleur sont C(4,2) = 6 pour les blanches et C(2,2) = 1 pour les noires, soit 7 cas favorables. La probabilité vaut donc 7/15.
Question 39Mathématiques
Soit (u_n) la suite définie par u_0 = 1 et, pour tout entier n, u_(n+1) = (1/2)u_n + 3. On admet que (u_n) converge et on note L sa limite. Quelle est la valeur de L ?
- 3
- 2
- 6 Correct answer.
- 1/2
Explanation
Si la suite converge vers L, alors par continuité de la relation on obtient L = (1/2)L + 3. On résout : L − L/2 = 3, soit L/2 = 3, donc L = 6. La suite converge bien car |1/2| < 1.
Question 40Mathématiques
On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = e^(2x) − 2e^x + 1. Combien l'équation f(x) = 0 admet-elle de solutions réelles ?
- Une seule solution, x = 0 Correct answer.
- Une infinité de solutions
- Aucune solution réelle
- Deux solutions, x = 0 et x = ln(2)
Explanation
On pose X = e^x > 0 ; l'équation devient X² − 2X + 1 = 0, soit (X − 1)² = 0, d'où X = 1. La seule possibilité est e^x = 1, c'est-à-dire x = 0, qui est bien solution et unique.
Question 41Sciences économiques et sociales
En comptabilité nationale, comment appelle-t-on l'agrégat qui mesure la valeur des biens et services produits sur le territoire national pendant une année, quel que soit le pays d'origine des facteurs de production ?
- La formation brute de capital fixe
- Le revenu national disponible
- Le produit national brut
- Le produit intérieur brut Correct answer.
Explanation
Le PIB mesure la production réalisée sur le territoire national, indépendamment de la nationalité des facteurs de production employés. Le PNB, lui, retient les revenus des facteurs nationaux même à l'étranger. Le critère déterminant est donc le critère de territorialité.
Question 42Sciences économiques et sociales
Un pays enregistre un PIB nominal de 5 000 milliards en 2023 et de 5 500 milliards en 2024, alors que l'indice des prix passe de 100 à 110. Quelle est l'évolution du PIB en volume ?
- Une stagnation Correct answer.
- Une baisse d'environ 5 %
- Une hausse d'environ 20 %
- Une hausse d'environ 10 %
Explanation
Le PIB réel se calcule en déflatant le PIB nominal : 5 500/1,10 = 5 000, soit le même niveau qu'en 2023. La hausse nominale de 10 % est donc entièrement absorbée par l'inflation. En volume, la production n'a pas progressé.
Question 43Sciences économiques et sociales
Dans la théorie keynésienne, quelle est la conséquence d'une insuffisance de la demande effective sur l'emploi ?
- Le marché du travail s'ajuste automatiquement par la baisse des salaires
- Le chômage involontaire s'installe car les entreprises ne produisent que ce qu'elles anticipent de vendre Correct answer.
- L'épargne des ménages stimule directement l'embauche
- Le chômage disparaît grâce à la flexibilité des prix
Explanation
Pour Keynes, l'emploi dépend des anticipations de débouchés des entrepreneurs : si la demande effective est faible, la production et donc l'embauche sont réduites. Le chômage involontaire apparaît alors qu'il existe des travailleurs prêts à travailler au salaire courant. L'ajustement par les salaires ne suffit pas à rétablir l'équilibre.
Question 44Sciences économiques et sociales
Quel est l'effet d'une politique de grands travaux financée par l'emprunt sur l'activité économique selon le mécanisme du multiplicateur keynésien ?
- Une hausse strictement égale au montant dépensé, sans effet de relance
- Une hausse de la production supérieure au montant initial dépensé, si les capacités de production le permettent Correct answer.
- Un effet nul car les dépenses publiques se substituent à l'épargne
- Une baisse immédiate de la production due à l'endettement
Explanation
Le multiplicateur traduit le fait qu'une dépense initiale devient revenu pour ses bénéficiaires, qui en consomment une partie, laquelle devient revenu d'autres agents. L'effet total sur la production dépasse donc la dépense initiale, sous réserve de capacités productives disponibles. La propension à consommer conditionne l'ampleur de cet effet.
Question 45Sciences économiques et sociales
Quelle est la fonction principale de la monnaie dans une économie d'échange ?
- Elle garantit la richesse réelle de chaque ménage
- Elle remplace la production de biens matériels
- Elle fixe le niveau des salaires par la loi
- Elle sert d'unité de compte, d'intermédiaire des échanges et de réserve de valeur Correct answer.
Explanation
La monnaie remplit trois fonctions complémentaires : unité de compte pour exprimer les prix, intermédiaire des échanges pour éviter le troc, et réserve de valeur pour reporter la dépense dans le temps. Ces fonctions sont reconnues par la théorie économique classique.
Question 46Sciences économiques et sociales
Le taux de chômage est calculé comme le rapport entre :
- Le nombre de chômeurs et la population totale
- Le nombre de demandeurs d'emploi et le nombre de salariés
- Le nombre de chômeurs et la population active Correct answer.
- Le nombre de chômeurs et le nombre d'emplois vacants
Explanation
Le taux de chômage rapporte les chômeurs à la population active, c'est-à-dire l'ensemble des personnes en emploi ou à la recherche d'un emploi. Ce choix de dénominateur permet de mesurer la difficulté d'accès à l'emploi parmi ceux qui participent au marché du travail.
Question 47Sciences économiques et sociales
Dans une structure de marché oligopolistique, qu'est-ce qui caractérise principalement le comportement des firmes ?
- Elles prennent le prix comme une donnée sans influence possible
- Elles tiennent compte des réactions de leurs concurrentes pour fixer prix et quantités Correct answer.
- Elles produisent un bien homogène en concurrence parfaite
- Elles sont obligatoirement nationalisées
Explanation
L'oligopole se définit par un petit nombre de vendeurs dont les décisions sont interdépendantes : chaque firme anticipe la réaction de ses rivales. Cette interdépendance stratégique distingue l'oligopole de la concurrence pure et parfaite. Elle peut donner lieu à des ententes ou à des guerres de prix.
Question 48Sciences économiques et sociales
Quel indicateur mesure le degré d'inégalité des revenus en variant entre 0 et 1 ?
- La propension marginale à épargner
- Le coefficient de Gini Correct answer.
- Le taux de marge
- Le déflateur du PIB
Explanation
Le coefficient de Gini synthétise la distribution des revenus : il vaut 0 en situation d'égalité parfaite et tend vers 1 lorsque la concentration est extrême. Il se lit à partir de la courbe de Lorenz. Les autres indicateurs cités mesurent des phénomènes différents.
Question 49Sciences économiques et sociales
La courbe de Lorenz d'un pays s'éloigne fortement de la diagonale. Que peut-on en conclure ?
- La fiscalité y est strictement proportionnelle
- La croissance économique y est très faible
- Le chômage y est structurellement nul
- La répartition des revenus y est très inégalitaire Correct answer.
Explanation
La diagonale de la courbe de Lorenz représente une répartition parfaitement égalitaire. Plus la courbe s'en écarte, plus la concentration des revenus est forte. Cet écart est précisément ce que résume le coefficient de Gini.
Question 50Sciences économiques et sociales
Quelle est la principale source de financement de l'économie ivoirienne en matière de recettes publiques ?
- Les emprunts des ménages
- Les dons des organisations internationales
- Les recettes fiscales, notamment les droits de douane et la TVA Correct answer.
- La création monétaire par la banque centrale
Explanation
Le budget de l'État ivoirien repose majoritairement sur les recettes fiscales, dont la fiscalité de porte liée aux importations et la TVA. Les dons et emprunts complètent ce financement mais restent minoritaires. La banque centrale ne finance pas directement le Trésor public.