Mathématiques – série B : analyse, suites, statistiques et probabilités
Ce que l'épreuve évalue
L'épreuve de mathématiques de la série B porte sur l'analyse (limites, continuité, dérivation, logarithme et exponentielle, primitives et intégrales), sur les suites numériques, sur les statistiques à deux variables et sur les probabilités. Elle exige des raisonnements justifiés : un résultat exact mais non démontré ne rapporte qu'une partie des points.
Notions et règles à maîtriser
- Limites et continuité : lever une indétermination par factorisation du terme dominant ou par multiplication par la quantité conjuguée ; appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour justifier l'existence d'une solution.
- Dérivation : dérivées de x^n, de u/v, de ln u et de e^u ; le signe de f' donne le sens de variation ; tangente en a : y = f'(a)(x − a) + f(a).
- Logarithme et exponentielle : ln(ab) = ln a + ln b, e^(a+b) = e^a × e^b ; pour ln u, imposer u > 0 avant tout calcul.
- Suites : arithmétique u_n = u_0 + nr ; géométrique u_n = u_0 q^n ; somme des termes u_0(1 − q^(n+1))/(1 − q) si q ≠ 1.
- Statistiques et probabilités : point moyen, droite d'ajustement par moindres carrés, coefficient de corrélation ; probabilité conditionnelle P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) et indépendance.
Exercice type corrigé
Une population de poissons comptait 25 000 individus en 2020 et diminue de 8 % par an. On note u_n l'effectif en 2020 + n.
- Chaque année l'effectif est multiplié par 0,92, donc u_(n+1) = 0,92 u_n : la suite est géométrique de raison 0,92 et de premier terme 25 000.
- u_n = 25 000 × 0,92^n.
- On cherche n tel que u_n < 10 000, soit 0,92^n < 0,4. Comme ln 0,92 est négatif, la division inverse l'inégalité : n > ln 0,4 / ln 0,92 ≈ 10,99. Le plus petit entier convenable est n = 11, donc l'effectif passe sous 10 000 en 2031.
Pièges qui coûtent des points
Traduire une baisse de 8 % par une multiplication par 0,08 ; oublier d'inverser le sens de l'inégalité en divisant par un logarithme négatif ; arrondir dès la deuxième ligne et se tromper de rang ; étudier une fonction sans tableau de variation ni limites aux bornes ; oublier de vérifier une primitive par dérivation.