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Question 1Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Une suite géométrique (u_n) est définie par u_0 = 500 et u_{n+1} = 1,04·u_n. Quelle est la nature de cette suite et quel est son sens de variation ?

  1. Suite géométrique de raison 500, croissante
  2. Suite géométrique de raison 1,04, strictement décroissante
  3. Suite géométrique de raison 1,04, strictement croissante Correct answer.
  4. Suite arithmétique de raison 1,04, croissante

Explanation

La forme u_{n+1} = q·u_n avec q = 1,04 fixe une suite géométrique de raison q. Comme u_0 > 0 et q > 1, tous les termes restent positifs et la suite est strictement croissante.

Question 2Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Un capital de 2 000 000 FCFA est placé à intérêts composés au taux annuel de 5 %. Quelle valeur approchée obtient-on au bout de 3 ans, le capital étant exprimé en FCFA ?

  1. 2 300 000
  2. 2 315 250 Correct answer.
  3. 2 100 000
  4. 2 431 012

Explanation

La formule des intérêts composés donne C_n = C_0 × (1,05)^n. On calcule (1,05)^3 = 1,157625, puis 2 000 000 × 1,157625 = 2 315 250 FCFA.

Question 3Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = 2x + 3 − 5·ln(x). Quelle est l'expression de sa dérivée f'(x) ?

  1. f'(x) = 2 + 5/x
  2. f'(x) = 2x − 5/x
  3. f'(x) = 2 − 5/x Correct answer.
  4. f'(x) = 2 − 5·ln(x)

Explanation

La dérivée de 2x vaut 2, celle de la constante 3 est nulle, et la dérivée de ln(x) est 1/x, donc celle de −5·ln(x) vaut −5/x. En additionnant, on obtient f'(x) = 2 − 5/x.

Question 4Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Dans une population de clients, 60 % ont acheté le produit A, 30 % le produit B, et 10 % ont acheté les deux. Quelle est la probabilité qu'un client choisi au hasard ait acheté A ou B ?

  1. 0,80 Correct answer.
  2. 0,90
  3. 0,18
  4. 0,70

Explanation

On applique la formule P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Le calcul donne 0,60 + 0,30 − 0,10 = 0,80.

Question 5Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Une série statistique de 50 valeurs a pour moyenne 12. On ajoute à chaque valeur la constante 3. Que deviennent la moyenne et l'écart type ?

  1. La moyenne reste 12 et l'écart type augmente de 3
  2. La moyenne devient 15 et l'écart type reste inchangé Correct answer.
  3. La moyenne devient 15 et l'écart type augmente de 3
  4. La moyenne devient 15 et l'écart type est multiplié par 3

Explanation

Ajouter une constante à toutes les valeurs translate la distribution : la moyenne augmente de cette constante, donc devient 15. L'écart type mesure la dispersion autour de la moyenne, et une translation ne modifie pas les écarts à la moyenne.

Question 6Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Une entreprise produit x unités d'un bien, avec 0 ≤ x ≤ 100. Le coût total est C(x) = x² + 20x + 400 (en milliers de FCFA) et chaque unité est vendue 80 milliers de FCFA. Quelle quantité maximise le bénéfice ?

  1. 30 Correct answer.
  2. 40
  3. 20
  4. 100

Explanation

Le bénéfice s'écrit B(x) = 80x − (x² + 20x + 400) = −x² + 60x − 400. C'est une parabole concave dont le sommet est atteint en x = −60/(2×(−1)) = 30.

Question 7Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Un tableau croisé donne P(A) = 0,4, P(B) = 0,5 et P(A ∩ B) = 0,2. Que vaut P(B | A) ?

  1. 0,4
  2. 0,8
  3. 0,5 Correct answer.
  4. 0,1

Explanation

La probabilité conditionnelle se calcule par P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A), soit 0,2 / 0,4 = 0,5.

Question 8Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Quelle est la limite de la fonction f(x) = (3x² + 5x)/(x² − 2) lorsque x tend vers +∞ ?

  1. +∞
  2. 0
  3. 5
  4. 3 Correct answer.

Explanation

On factorise par x² au numérateur et au dénominateur : f(x) = (3 + 5/x)/(1 − 2/x²). Les termes en 1/x et 1/x² tendent vers 0, la limite vaut donc 3/1 = 3.

Question 9Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules blanches indiscernables au toucher. On tire simultanément 2 boules. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges ?

  1. 1/5
  2. 8/45
  3. 4/10
  4. 2/15 Correct answer.

Explanation

Le nombre de tirages possibles est C(10,2) = 45 et le nombre de tirages de deux rouges est C(4,2) = 6. La probabilité vaut donc 6/45 = 2/15.

Question 10Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Le prix d'un article passe de 25 000 FCFA à 30 000 FCFA. Quel est le taux d'augmentation ?

  1. 25 %
  2. 20 % Correct answer.
  3. 16,7 %
  4. 5 %

Explanation

Le taux de variation se calcule par (valeur finale − valeur initiale)/valeur initiale, soit (30 000 − 25 000)/25 000 = 0,20, c'est-à-dire 20 %.

Question 11Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

On veut résoudre dans ℝ l'équation e^{2x} − 3e^{x} + 2 = 0. Quel est l'ensemble des solutions ?

  1. {1 ; 2}
  2. {0 ; 2}
  3. {0 ; ln 2} Correct answer.
  4. {ln 3 ; ln 2}

Explanation

En posant X = e^x > 0, l'équation devient X² − 3X + 2 = 0, de racines X = 1 et X = 2. On résout e^x = 1 puis e^x = 2, ce qui donne x = 0 et x = ln 2.

Question 12Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

La loi de probabilité d'une variable aléatoire X est donnée par P(X = 0) = 0,2 ; P(X = 2) = 0,5 ; P(X = 5) = 0,3. Quelle est l'espérance E(X) ?

  1. 2,33
  2. 3,5
  3. 7/3
  4. 2,5 Correct answer.

Explanation

L'espérance est la somme des produits x_i × P(X = x_i) : 0×0,2 + 2×0,5 + 5×0,3 = 0 + 1 + 1,5 = 2,5.

Question 13Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Le coût marginal d'une production est modélisé par Cm(x) = 3x² − 12x + 15 (en milliers de FCFA par unité). Pour quelle valeur de x le coût marginal est-il minimal ?

  1. 4
  2. 2 Correct answer.
  3. 0
  4. 6

Explanation

Le coût marginal est une fonction polynôme du second degré de coefficient dominant positif. Son minimum est atteint au sommet x = −b/(2a) = 12/(2×3) = 2.

Question 14Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Une suite arithmétique (u_n) vérifie u_3 = 11 et u_8 = 26. Quelle est sa raison ?

  1. 15
  2. 5
  3. 3 Correct answer.
  4. 2

Explanation

Pour une suite arithmétique, u_8 = u_3 + 5r, donc 26 = 11 + 5r, ce qui donne 5r = 15 et r = 3.

Question 15Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Une étude montre que 2 % des pièces produites sont défectueuses. On prélève au hasard 10 pièces avec remise. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement une pièce défectueuse ?

  1. 10 × 0,02¹ × 0,02⁹
  2. 0,02¹⁰
  3. 10 × 0,02 × 0,98⁹ Correct answer.
  4. 0,02 × 0,98⁹

Explanation

Le nombre de pièces défectueuses suit une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,02. On applique P(X = 1) = C(10,1)·p¹·(1−p)⁹ = 10 × 0,02 × 0,98⁹.

Question 16Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

La fonction f définie sur ℝ par f(x) = x³ − 3x admet deux extremums locaux. Quelles sont leurs coordonnées ?

  1. Un minimum en (−1 ; 2) et un maximum en (1 ; −2)
  2. Un maximum en (0 ; 0) et un minimum en (2 ; 2)
  3. Un maximum en (−1 ; 2) et un minimum en (1 ; −2) Correct answer.
  4. Un maximum en (1 ; 2) et un minimum en (−1 ; −2)

Explanation

On a f'(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1), qui s'annule en −1 et 1. La dérivée est positive avant −1 et après 1 : f(−1) = 2 est donc un maximum local, et f(1) = −2 un minimum local.

Question 17Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Un commerçant augmente le prix d'un article de 10 %, puis applique une remise de 10 % sur le nouveau prix. Quel est l'effet global sur le prix initial ?

  1. Une baisse d'environ 1 % Correct answer.
  2. Un retour au prix initial
  3. Une baisse de 10 %
  4. Une hausse d'environ 1 %

Explanation

Le coefficient global est 1,10 × 0,90 = 0,99. Le prix final représente 99 % du prix initial, soit une baisse de 1 % : les pourcentages ne s'additionnent pas mais se multiplient.

Question 18Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

On estime que le chiffre d'affaires d'une entreprise augmente de 8 % par an. En combien d'années ce chiffre d'affaires aura-t-il au moins doublé ?

  1. 7 ans
  2. 9 ans Correct answer.
  3. 12 ans
  4. 15 ans

Explanation

Il faut résoudre 1,08^n ≥ 2, soit n ≥ ln 2 / ln 1,08 ≈ 0,693/0,0770 ≈ 9,0. Le doublement est donc atteint au bout de 9 ans.

Question 19Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [2 ; 8]. Quelle est la probabilité P(3 ≤ X ≤ 5) ?

  1. 2/5
  2. 1/3 Correct answer.
  3. 1/2
  4. 1/4

Explanation

Pour une loi uniforme sur [a ; b], la densité est constante égale à 1/(b−a) = 1/6. La probabilité cherchée vaut donc (5−3) × 1/6 = 2/6 = 1/3.

Question 20Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Une entreprise fabrique deux produits A et B à partir de deux ressources limitées. Le programme linéaire maximise le profit sous contraintes linéaires. Dans un problème de programmation linéaire à deux variables, où se situe l'optimum ?

  1. Sur la droite de plus grande pente passant par l'origine
  2. En un sommet du polygone des contraintes Correct answer.
  3. Toujours à l'origine du repère
  4. Au centre du polygone des contraintes

Explanation

La région réalisable est un polygone convexe et la fonction objectif est linéaire. On démontre que l'optimum d'un programme linéaire, s'il existe, est atteint en au moins un sommet de ce polygone.

Question 21Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

La fonction f est définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x − 2 + ln(x)/x. Quelle est la limite de f en +∞ ?

  1. −2
  2. +∞ Correct answer.
  3. 1
  4. 0

Explanation

Le terme ln(x)/x tend vers 0 quand x tend vers l'infini, car la croissance du logarithme est plus lente que celle de x. Le terme x − 2 domine alors et tend vers +∞, donc f(x) tend vers +∞.

Question 22Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Un client rembourse un crédit par 12 mensualités constantes de 50 000 FCFA, la première ayant lieu un mois après l'emprunt. Le taux mensuel est de 1 %. Quelle est la valeur actuelle de cette suite de versements, arrondie au franc ?

  1. 600 000 FCFA
  2. 562 550 FCFA Correct answer.
  3. 550 000 FCFA
  4. 612 000 FCFA

Explanation

La valeur actuelle d'une suite de n versements constants a est a × (1 − (1+i)^{−n})/i. Ici, 50 000 × (1 − 1,01^{−12})/0,01 ≈ 50 000 × 11,2551 ≈ 562 550 FCFA.

Question 23Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

On considère la fonction f(x) = x·e^{−x} définie sur [0 ; +∞[. Quelle est l'aire, en unités d'aire, de la région comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites x = 0 et x = 1 ?

  1. 1 − 2/e Correct answer.
  2. 1 − 1/e
  3. 1/e
  4. 2/e

Explanation

On intègre par parties avec u = x et v' = e^{−x}, d'où ∫x·e^{−x}dx = −x·e^{−x} − e^{−x}. Entre 0 et 1, on obtient (−2/e) − (−1) = 1 − 2/e.

Question 24Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Une population croît selon le modèle P(t) = 1000·e^{0,05t}, où t est exprimé en années. Quel est le taux de croissance instantané relatif de cette population ?

  1. 0,05 habitant par an
  2. 0,5 % par an
  3. 5 % par an Correct answer.
  4. 50 % par an

Explanation

Le taux de croissance relatif instantané est P'(t)/P(t). Or P'(t) = 1000 × 0,05 × e^{0,05t}, donc le quotient vaut constamment 0,05, soit 5 % par an.

Question 25Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Deux événements A et B vérifient P(A) = 0,6, P(B) = 0,4 et P(A ∩ B) = 0,24. Que peut-on en conclure ?

  1. A et B sont dépendants car P(A ∩ B) < P(A)
  2. A et B sont indépendants car P(A) + P(B) > 1
  3. A et B sont incompatibles car P(A ∩ B) ≠ 0
  4. A et B sont indépendants car P(A ∩ B) = P(A)×P(B) Correct answer.

Explanation

Deux événements sont indépendants lorsque P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Ici, 0,6 × 0,4 = 0,24, ce qui coïncide avec la valeur donnée : l'indépendance est vérifiée.

Question 26Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Une entreprise vend un article à 12 000 FCFA l'unité. La demande est modélisée par q(p) = 600 − 20p, où p est le prix en milliers de FCFA et q le nombre d'articles demandés. Quelle est l'expression du chiffre d'affaires R(p) en milliers de FCFA ?

  1. R(p) = 600 − 20p
  2. R(p) = 600p − 20p² Correct answer.
  3. R(p) = 600p + 20p²
  4. R(p) = 12p − 20p²

Explanation

Le chiffre d'affaires est le produit du prix unitaire par la quantité demandée : R(p) = p × q(p) = p(600 − 20p) = 600p − 20p². La variable p est le prix en milliers de FCFA, donc R est bien exprimé en milliers de FCFA.

Question 27Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Le tableau suivant donne les effectifs de deux catégories de clients d'une banque : 60 ont un compte épargne, 40 un compte courant, et 25 possèdent les deux types de comptes. Combien de clients possèdent au moins un de ces deux types de comptes ?

  1. 100
  2. 125
  3. 50
  4. 75 Correct answer.

Explanation

On applique la formule du crible : Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B) = 60 + 40 − 25 = 75. Les 25 clients possédant les deux comptes sont comptés deux fois dans la somme, il faut donc les retrancher une fois.

Question 28Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Un capital de 500 000 FCFA est placé à intérêts simples au taux annuel de 6 %. Quelle est la valeur acquise au bout de 3 ans ?

  1. 590 000 FCFA Correct answer.
  2. 580 000 FCFA
  3. 530 000 FCFA
  4. 595 508 FCFA

Explanation

Avec des intérêts simples, les intérêts annuels sont 500 000 × 0,06 = 30 000 FCFA. Sur 3 ans, ils totalisent 90 000 FCFA, d'où une valeur acquise de 500 000 + 90 000 = 590 000 FCFA.

Question 29Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

On considère la suite géométrique (u_n) définie par u_0 = 2 000 et u_{n+1} = 1,05 u_n, qui modélise un chiffre d'affaires en FCFA. Quelle est l'expression de u_n en fonction de n ?

  1. u_n = 2 000 × n^1,05
  2. u_n = 2 000 × 1,05^n Correct answer.
  3. u_n = 2 000 × 1,05 × n
  4. u_n = 2 000 + 1,05n

Explanation

Une suite géométrique de raison q et de premier terme u_0 a pour terme général u_n = u_0 × q^n. Ici q = 1,05 et u_0 = 2 000, d'où u_n = 2 000 × 1,05^n.

Question 30Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Un magasin accorde une remise de 15 % sur un article affiché à 40 000 FCFA, puis ajoute une taxe de 18 % sur le prix remisé. Quel est le prix final payé ?

  1. 38 800 FCFA
  2. 41 200 FCFA
  3. 47 200 FCFA
  4. 40 120 FCFA Correct answer.

Explanation

Le prix remisé est 40 000 × 0,85 = 34 000 FCFA. On applique ensuite la taxe : 34 000 × 1,18 = 40 120 FCFA. Le coefficient global est 0,85 × 1,18 = 1,003.

Question 31Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

La production journalière d'un atelier suit la loi normale de moyenne 500 unités et d'écart type 40 unités. Quelle est la probabilité que la production d'un jour donné soit inférieure à 500 unités ?

  1. 0,84
  2. 1
  3. 0,16
  4. 0,5 Correct answer.

Explanation

Dans une loi normale, la moyenne est aussi la médiane : la probabilité d'être de part et d'autre de la moyenne vaut 0,5. Ici P(X < 500) = P(X < μ) = 0,5.

Question 32Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = 2x + 3 − 5ln(x). Quelle est l'expression de sa dérivée f'(x) ?

  1. f'(x) = 2 + 5/x
  2. f'(x) = 2 − 5ln(x)
  3. f'(x) = 2 − 5/x Correct answer.
  4. f'(x) = 2 − 5x

Explanation

La dérivée de 2x est 2, celle de la constante 3 est 0, et celle de ln(x) est 1/x. Donc f'(x) = 2 − 5 × (1/x) = 2 − 5/x.

Question 33Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Une entreprise vend 3 produits A, B, C dans les proportions 50 %, 30 % et 20 %. Les marges unitaires sont respectivement 2 000, 3 000 et 5 000 FCFA. Quelle est la marge moyenne par produit vendu ?

  1. 3 000 FCFA
  2. 2 900 FCFA Correct answer.
  3. 2 500 FCFA
  4. 3 333 FCFA

Explanation

La marge moyenne est l'espérance des marges pondérées par les proportions : 0,5 × 2 000 + 0,3 × 3 000 + 0,2 × 5 000 = 1 000 + 900 + 1 000 = 2 900 FCFA.

Question 34Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Le coût total de production de x unités est C(x) = 0,5x² + 10x + 200, en milliers de FCFA. Quelle est l'expression du coût moyen par unité, noté CM(x), pour x > 0 ?

  1. CM(x) = 0,5x² + 10x + 200
  2. CM(x) = x + 10 + 200
  3. CM(x) = 0,5x + 10 + 200/x Correct answer.
  4. CM(x) = 0,5 + 10 + 200/x

Explanation

Le coût moyen est le coût total divisé par la quantité produite : CM(x) = C(x)/x = 0,5x + 10 + 200/x. Chaque terme du coût total est divisé par x.

Question 35Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Une variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0,1. Quelle est la valeur de l'espérance E(X) et de la variance V(X) ?

  1. E(X) = 2 et V(X) = 2
  2. E(X) = 2 et V(X) = 1,8 Correct answer.
  3. E(X) = 0,1 et V(X) = 1,8
  4. E(X) = 20 et V(X) = 18

Explanation

Pour une loi binomiale, E(X) = np = 20 × 0,1 = 2 et V(X) = np(1 − p) = 20 × 0,1 × 0,9 = 1,8. La variance est toujours inférieure à l'espérance lorsque p < 1.

Question 36Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Une entreprise rembourse un emprunt par 10 annuités constantes de 1 000 000 FCFA, la première versée un an après l'emprunt. Le taux annuel est de 10 %. Quelle est la valeur actuelle de ces versements, arrondie au franc ?

  1. 6 759 024 FCFA
  2. 5 759 024 FCFA
  3. 10 000 000 FCFA
  4. 6 144 567 FCFA Correct answer.

Explanation

La valeur actuelle d'une suite d'annuités constantes est a × (1 − (1 + i)^(−n))/i. Ici 1 000 000 × (1 − 1,1^(−10))/0,1 ≈ 1 000 000 × 6,144567 ≈ 6 144 567 FCFA.

Question 37Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Une entreprise produit deux biens X et Y. Chaque unité de X rapporte 4 000 FCFA de marge, chaque unité de Y rapporte 3 000 FCFA. La contrainte de main-d'œuvre s'écrit 2x + y ≤ 100 et la contrainte de matière première x + 2y ≤ 80, avec x ≥ 0 et y ≥ 0. Quel est le couple (x ; y) qui maximise la marge ?

  1. (20 ; 40)
  2. (0 ; 40)
  3. (50 ; 0)
  4. (40 ; 20) Correct answer.

Explanation

Les deux contraintes sont saturées à l'optimum : en résolvant 2x + y = 100 et x + 2y = 80, on obtient x = 40 et y = 20. La marge vaut alors 4 000 × 40 + 3 000 × 20 = 220 000 FCFA, supérieure aux valeurs des autres sommets.

Question 38Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

On estime que le chiffre d'affaires d'une entreprise augmente de 5 % par an. En combien d'années ce chiffre d'affaires aura-t-il au moins doublé ?

  1. 10 ans
  2. 15 ans Correct answer.
  3. 14 ans
  4. 20 ans

Explanation

On cherche le plus petit entier n tel que 1,05^n ≥ 2, soit n ≥ ln(2)/ln(1,05) ≈ 0,693/0,0488 ≈ 14,2. Le plus petit entier vérifiant la condition est donc 15 ans.

Question 39Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

On considère la fonction f définie sur [0 ; 2] par f(x) = 3x² + 2x. Quelle est la valeur moyenne de f sur cet intervalle ?

  1. 3
  2. 8
  3. 6 Correct answer.
  4. 4

Explanation

La valeur moyenne est (1/(b − a)) × ∫_a^b f(x) dx. Ici ∫_0^2 (3x² + 2x) dx = [x³ + x²]_0^2 = 8 + 4 = 12, et la division par 2 donne 6.

Question 40Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Dans une population, 30 % des clients sont des professionnels. Parmi les professionnels, 40 % souscrivent à une assurance ; parmi les particuliers, 10 % souscrivent. Un client choisi au hasard souscrit à l'assurance. Quelle est la probabilité qu'il soit un professionnel ?

  1. 0,30
  2. 0,63 environ Correct answer.
  3. 0,40
  4. 0,12

Explanation

On applique la formule de Bayes : P(Pro|Ass) = (0,3 × 0,4)/(0,3 × 0,4 + 0,7 × 0,1) = 0,12/0,19 ≈ 0,63. Le dénominateur est la probabilité totale de souscrire.

Question 41Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Une entreprise hésite entre deux projets. Le projet A donne un gain de 100 000 FCFA avec probabilité 0,6 et un gain de 20 000 FCFA sinon. Le projet B donne un gain de 70 000 FCFA avec probabilité 0,5 et un gain de 40 000 FCFA sinon. Quel projet a la plus grande espérance de gain ?

  1. Le projet B, avec 55 000 FCFA
  2. Les deux projets ont la même espérance
  3. Le projet A, avec 68 000 FCFA Correct answer.
  4. Le projet A, avec 60 000 FCFA

Explanation

On calcule E(A) = 0,6 × 100 000 + 0,4 × 20 000 = 68 000 FCFA et E(B) = 0,5 × 70 000 + 0,5 × 40 000 = 55 000 FCFA. Le projet A a donc la plus grande espérance.

Question 42Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Une suite (u_n) est définie par u_0 = 5 et u_{n+1} = 0,8u_n + 10. On pose v_n = u_n − 50. Quelle est la nature de la suite (v_n) ?

  1. Arithmétique de raison 10
  2. Constante égale à 5
  3. Géométrique de raison 0,8 Correct answer.
  4. Géométrique de raison 10

Explanation

On vérifie v_{n+1} = u_{n+1} − 50 = 0,8u_n + 10 − 50 = 0,8u_n − 40 = 0,8(u_n − 50) = 0,8v_n. La suite (v_n) est donc géométrique de raison 0,8.

Question 43Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = (ln x)/x. Quelle est la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞ ?

  1. −∞
  2. 0 Correct answer.
  3. 1
  4. +∞

Explanation

La fonction ln croît plus lentement que toute puissance de x, donc ln(x)/x tend vers 0 quand x tend vers +∞. C'est une limite de référence de croissances comparées.

Question 44Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

On place 200 000 FCFA à intérêts composés au taux annuel de 8 %. Quelle est la valeur acquise après 5 ans, arrondie au franc ?

  1. 216 000 FCFA
  2. 293 866 FCFA Correct answer.
  3. 280 000 FCFA
  4. 400 000 FCFA

Explanation

La valeur acquise est C × (1 + i)^n = 200 000 × 1,08^5. Or 1,08^5 ≈ 1,46933, d'où environ 293 866 FCFA.

Question 45Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Une entreprise produit x unités d'un bien, avec x compris entre 0 et 50. Le bénéfice est B(x) = −x² + 60x − 500, en milliers de FCFA. Pour quelle production le bénéfice est-il maximal, et quelle est sa valeur ?

  1. x = 50 et B = 0 milliers de FCFA
  2. x = 30 et B = 400 milliers de FCFA Correct answer.
  3. x = 30 et B = 300 milliers de FCFA
  4. x = 60 et B = 400 milliers de FCFA

Explanation

La fonction B est un trinôme du second degré de sommet x = −b/(2a) = 60/2 = 30, valeur dans l'intervalle [0 ; 50]. Alors B(30) = −900 + 1 800 − 500 = 400 milliers de FCFA.

Question 46Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Un tableau croisé porte sur 200 clients. On note A l'événement « le client est un professionnel » et B l'événement « le client a souscrit un crédit ». On sait que P(A) = 0,25, P(B) = 0,5 et P(A ∪ B) = 0,65. Que peut-on en conclure pour A et B ?

  1. Les événements A et B sont certains
  2. P(A ∩ B) = 0,10
  3. Les événements A et B sont incompatibles
  4. Les événements A et B sont indépendants Correct answer.

Explanation

On calcule P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) = 0,25 + 0,5 − 0,65 = 0,10. Or P(A) × P(B) = 0,125, différent de 0,10 ; les événements ne sont donc pas indépendants.

Question 47Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = (x + 1)e^(−x). Quelle est l'expression de f'(x) ?

  1. f'(x) = −(x + 1)e^(−x)
  2. f'(x) = e^(−x)
  3. f'(x) = −x·e^(−x) Correct answer.
  4. f'(x) = (x + 2)e^(−x)

Explanation

On applique la règle du produit : f'(x) = 1 × e^(−x) + (x + 1) × (−e^(−x)) = e^(−x)(1 − x − 1) = −x·e^(−x). La dérivée s'annule en x = 0 et change de signe.

Question 48Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

On considère la suite (u_n) définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = (u_n + 3)/2. On admet qu'elle converge vers un réel L. Quelle est la valeur de L ?

  1. L = 1
  2. L = 3 Correct answer.
  3. L = 1,5
  4. L = 2

Explanation

Si la suite converge vers L, alors L vérifie L = (L + 3)/2, soit 2L = L + 3, d'où L = 3. La suite est croissante et majorée par 3, ce qui confirme la convergence vers cette valeur.

Question 49Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Une entreprise estime que la probabilité qu'un client réponde à une offre est 0,2, indépendamment d'un client à l'autre. Elle contacte 5 clients. Quelle est la probabilité qu'au moins un client réponde ?

  1. 0,67232 Correct answer.
  2. 0,2
  3. 0,4096
  4. 0,32768

Explanation

La probabilité qu'aucun client ne réponde est 0,8^5 ≈ 0,32768. Donc P(au moins un) = 1 − 0,32768 = 0,67232. On utilise l'événement contraire pour éviter de sommer plusieurs cas.

Question 50Mathématiques appliquées à la gestion (analyse, statistiques, probabilités)

Le chiffre d'affaires d'une entreprise suit une croissance modélisée par C(t) = 500 × e^(0,1t), où t est en années et C en millions de FCFA. Quelle est la valeur du taux de croissance instantané relatif de C, en pourcentage par an ?

  1. 0,1 % par an
  2. 5 % par an
  3. 50 % par an
  4. 10 % par an Correct answer.

Explanation

Pour un modèle exponentiel C(t) = C_0·e^(kt), le taux de croissance instantané relatif est le coefficient k, soit 0,1, c'est-à-dire 10 % par an. Ce taux est constant, contrairement au taux annuel moyen calculé sur une période.