Mathématiques appliquées à la gestion : analyse, statistiques, probabilités
L'épreuve de mathématiques appliquées à la gestion de la série H vérifie que le candidat sait modéliser une situation de gestion (coût, recette, bénéfice, endettement, remboursement) puis mobiliser les outils d'analyse, de statistique, de probabilité et de mathématiques financières pour répondre à une question précise. Le calcul seul ne suffit pas : chaque résultat doit être interprété en langage économique.
Analyse et optimisation
La dérivée f' donne le sens de variation : f' > 0 sur un intervalle signifie que f croît. Un extremum n'existe que si f' s'annule en changeant de signe. Pour un bénéfice B(x) = R(x) − C(x), le maximum vérifie B'(x) = 0, c'est-à-dire recette marginale égale coût marginal : R'(x) = C'(x). Le résultat doit être replacé dans le domaine de définition (x ≥ 0, souvent entier : nombre d'articles). L'élasticité e = (ΔQ/Q)/(ΔP/P) mesure la sensibilité de la demande au prix : |e| > 1, demande élastique.
Statistiques
À partir d'une série (chiffre d'affaires par année, par exemple), on calcule moyenne, médiane et écart-type. Pour prévoir, on ajuste une droite par les moindres carrés : a = Cov(x,y)/V(x), b = ȳ − a·x̄, d'où y = ax + b. Le coefficient de corrélation r, entre −1 et 1, mesure la qualité de l'ajustement : une prévision n'est défendable que si |r| est proche de 1. Les x sont les rangs (1, 2, 3…) ou les années, jamais les valeurs de y.
Probabilités
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) ; P(A|B) = P(A∩B)/P(B). Deux événements sont indépendants si P(A∩B) = P(A)×P(B). Un arbre pondéré évite la plupart des erreurs. Pour n épreuves identiques et indépendantes à deux issues, la loi binomiale donne P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k), avec E(X) = np.
Mathématiques financières
Un capital C0 placé à intérêts composés au taux i devient Cn = C0(1+i)^n. Pour comparer des flux à des dates différentes, on actualise : C0 = Cn(1+i)^(−n). La VAN est la somme des flux actualisés diminuée de l'investissement initial ; le projet est acceptable si VAN > 0. Pour un emprunt remboursé par annuités constantes : a = C0 × i / (1 − (1+i)^(−n)).
Exemple rédigé
Une entreprise vend x articles à 60 F l'unité, avec C(x) = 0,02x² + 40x + 2 000. On pose B(x) = 60x − (0,02x² + 40x + 2 000) = −0,02x² + 20x − 2 000. Alors B'(x) = −0,04x + 20 ; B'(x) = 0 donne x = 500. B' est positive avant 500 et négative après : le bénéfice est donc maximal pour 500 articles, soit B(500) = −5 000 + 10 000 − 2 000 = 3 000 F. La conclusion doit citer la quantité et le montant.
Les pièges qui coûtent des points
Annoncer un maximum sans étudier le signe de la dérivée ; confondre variance et écart-type ; appliquer un taux annuel à des périodes mensuelles sans convertir ; oublier l'exposant négatif dans l'actualisation ; présenter un résultat brut sans phrase d'interprétation économique ; négliger les arrondis imposés par l'énoncé.