Mathématiques - Clôturer un potager : surface maximale et choix du fournisseur
À Daloa, l'association des jeunes maraîchers dispose d'un mur longeant son terrain et de 48 m de grillage pour clôturer un potager rectangulaire. Le grillage doit couvrir trois côtés, le mur servant de quatrième côté. L'association veut la plus grande surface possible pour cultiver des tomates. Elle compare deux fournisseurs. Le fournisseur A vend le grillage à 1 500 FCFA le mètre et accorde une remise de 10 % au-delà de 35 m. Le fournisseur B vend à 1 400 FCFA le mètre, mais facture 5 000 FCFA de livraison. Le fournisseur A livre en une semaine ; le fournisseur B livre en deux jours. Or les semis doivent être mis en terre dans cinq jours, et la clôture doit être posée avant. Le trésorier hésite : prendre le moins cher ou respecter le calendrier. Il demande au groupe de calculer d'abord les dimensions optimales, puis de trancher avec des chiffres.
1. On note x la longueur du côté parallèle au mur. Exprimez la largeur en fonction de x, puis l'aire A(x). Montrez que l'aire est maximale pour x = 24 m et donnez les dimensions et l'aire maximale.
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Soit x la longueur parallèle au mur et y la largeur. Le grillage couvre x + 2y = 48, donc y = (48 - x)/2. L'aire est A(x) = x(48 - x)/2 = -0,5x² + 24x. On met sous forme canonique : A(x) = -0,5(x - 24)² + 288. Le maximum est atteint pour x = 24 m, car le carré est positif et son coefficient est négatif. Alors y = (48 - 24)/2 = 12 m. L'aire maximale est 288 m². Vérification : 24 + 2×12 = 48 m de grillage. Les dimensions sont donc 24 m le long du mur et 12 m de profondeur.
2. Calculez le coût total du grillage chez A et chez B pour 48 m. Lequel est le moins cher ?
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Pour 48 m, fournisseur A : 48 × 1 500 = 72 000 FCFA. La remise de 10 % s'applique car 48 > 35 : 72 000 × 0,90 = 64 800 FCFA. Fournisseur B : 48 × 1 400 = 67 200 FCFA, plus 5 000 de livraison = 72 200 FCFA. A est donc moins cher de 7 400 FCFA, soit environ 10,2 % de moins que B. Le calcul seul favorise donc A.
3. Le calendrier impose une pose avant cinq jours. Quelle recommandation ferez-vous ? Justifiez en pesant coût, délai et risque.
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Le calcul seul favorise A, mais le délai de A est de 7 jours, alors que la clôture doit être posée avant 5 jours. Choisir A ferait rater la mise en terre des semis, avec un risque de perte de récolte supérieur à l'économie de 7 400 FCFA. Je recommande donc B, ou une négociation avec A pour une livraison accélérée. Si A ne peut pas livrer à temps, B est rationnel malgré son coût légèrement supérieur. La décision combine coût, délai et risque : le moins cher n'est pas le plus avantageux si le chantier arrive trop tard.