Programme de production d'un atelier métallique : optimum, heures supplémentaires et commande spéciale
L'atelier de menuiserie métallique d'une entreprise de Yopougon fabrique deux articles : des portes grillagées A et des fenêtres B. Chaque A exige 2 h de soudure et 1 h de peinture ; chaque B exige 1 h de soudure et 2 h de peinture. L'atelier dispose de 160 h de soudure et de 200 h de peinture par semaine. Les marges sur coûts variables sont de 40 000 FCFA par A et 30 000 FCFA par B, et toute la production est vendue. Le chef d'atelier veut savoir combien produire de chaque article. Par ailleurs, deux heures supplémentaires de soudure sont possibles le samedi, à 25 000 FCFA l'heure, et une heure de peinture supplémentaire coûterait 12 000 FCFA. Le directeur commercial veut satisfaire un client qui demande 45 fenêtres B, ce qui réduirait la production de portes. Le gérant doit trancher ce week-end : programme de production, heures supplémentaires à autoriser, réponse au client.
1. Formuler le programme linéaire et déterminer le plan de production qui maximise la marge hebdomadaire. Quelles ressources sont saturées ?
Read the worked answer
Modèle (A et B en nombre d'unités, marge en milliers de FCFA) : Max Z = 40A + 30B s.c. 2A + B ≤ 160 (soudure) ; A + 2B ≤ 200 (peinture) ; A, B ≥ 0.
Sommets du domaine réalisable :
- (0 ; 0) → Z = 0
- (80 ; 0) : 2×80 = 160 h soudure, 80 h peinture → Z = 3 200
- (0 ; 100) : 100 h soudure, 200 h peinture → Z = 3 000
- intersection des deux droites : 2A + B = 160 et A + 2B = 200 → B = 160 − 2A, d'où A + 320 − 4A = 200, soit A = 40 et B = 80.
Optimum : A = 40 portes, B = 80 fenêtres. Z = 40 × 40 + 30 × 80 = 1 600 + 2 400 = 4 000 milliers, soit 4 000 000 FCFA par semaine.
Vérification : soudure 2×40 + 80 = 160 h (saturée) ; peinture 40 + 160 = 200 h (saturée). Les deux ressources sont saturées, ce qui explique qu'aucun accroissement « gratuit » ne soit possible.
2. Faut-il accepter les heures supplémentaires ? Comparer leur coût à leur valeur réelle pour l'entreprise.
Read the worked answer
La valeur d'une heure supplémentaire n'est pas le chiffre d'affaires qu'elle permet, mais la variation de marge : c'est le prix dual (coût d'opportunité) de la contrainte.
+1 h de soudure : 2A + B = 161 et A + 2B = 200 → A = 40,667 et B = 79,667. Z = 40 × 40,667 + 30 × 79,667 = 1 626,7 + 2 390 = 4 016,7 → gain 16 700 FCFA par heure. Coût demandé : 25 000 FCFA/h → opération déficitaire, refuser.
+1 h de peinture : 2A + B = 160 et A + 2B = 201 → A = 39,667 et B = 80,667. Z = 1 586,7 + 2 420 = 4 006,7 → gain 6 700 FCFA par heure. Coût demandé : 12 000 FCFA/h → également déficitaire, refuser.
Conclusion et raisonnement : le réflexe « les deux ateliers sont à saturation, donc les heures supplémentaires sont rentables » est faux. Ici, chaque heure achetée coûte plus qu'elle ne rapporte, parce que le goulot d'étranglement n'est pas une ressource rare au sens économique : le mixer de production impose de renoncer à des portes très margées (40 000 FCFA) pour produire des fenêtres. Refuser les deux offres, sauf si l'heure supplémentaire est le seul moyen de tenir un délai contractuel dont la pénalité dépasse 16 700 FCFA/h.
3. Le client exige 45 fenêtres B. Chiffrer le coût de cette exigence et proposer une réponse commerciale. Que change la contrainte d'entiers ?
Read the worked answer
Avec B ≥ 45, la contrainte de soudure devient 2A ≤ 160 − 45 = 115 → A ≤ 57,5 ; la contrainte de peinture donne A ≤ 200 − 90 = 110. C'est donc la soudure qui limite : on retient A = 57,5 (non entier). Z = 40 × 57,5 + 30 × 45 = 2 300 + 1 350 = 3 650 milliers, soit 3 650 000 FCFA.
Coût de l'exigence : 4 000 000 − 3 650 000 = 350 000 FCFA par semaine, soit une perte de 8,75 % de la marge, pour seulement 45 − 40 = 5 fenêtres supplémentaires... et 40 − 57,5 = 17,5 portes de moins. Une porte rapporte 40 000 FCFA de marge contre 30 000 pour une fenêtre : c'est un mauvais échange pour l'atelier.
Contrainte d'entiers : A = 57,5 est impossible. Avec A = 57 et B = 45 : soudure 114 + 45 = 159 h ≤ 160, peinture 57 + 90 = 147 h ≤ 200 ; marge = 2 280 + 1 350 = 3 630 milliers, soit une perte de 370 000 FCFA. Les 2 h de peinture libérées ne servent à rien puisque la soudure reste le goulot : c'est un cas classique de ressource non contraignante en excès.
Réponse commerciale : accepter les 45 fenêtres seulement avec un supplément au moins égal à 370 000 FCFA (ou en contrepartie de commandes de portes), ou étaler la commande sur deux semaines en profitant des capacités libres. Ne jamais raisonner sur le prix de vente : la décision se prend sur la marge par heure de goulot, soit 40 000/2 = 20 000 FCFA/h pour A contre 30 000/1 = 30 000 FCFA/h pour B en soudure - mais avec 30 000/2 = 15 000 contre 40 000/1 = 40 000 en peinture, d'où l'arbitrage à 40 A / 80 B.