Jardin de la coopérative : l'optimum mathématique est-il constructible ?
La coopérative du lycée dispose d'une bande de 96 m² le long du mur du préau pour aménager un jardin maraîcher rectangulaire. Le mur sert de clôture sur un côté ; les trois autres côtés doivent être grillagés. Le grillage est vendu par panneaux entiers de 2 m, à 4 500 FCFA le mètre, et ne peut être ni coupé ni soudé sur place. Un portail d'un mètre de large, qui occupe un panneau entier sur l'un des côtés perpendiculaires au mur, coûte 25 000 FCFA, pose comprise. La coopérative a voté un budget de 200 000 FCFA. Le trésorier affirme qu'« en prenant la forme la plus économique, on passera large » ; le proviseur exige une surface d'au moins 96 m² et refuse tout panneau posé de travers. Le club mathématiques doit rendre un devis argumenté, puis expliquer pourquoi la solution théorique qu'il a calculée n'est pas forcément celle qu'on peut construire.
1. Établissez le devis en supposant le grillage continu, donc découpable à volonté : dimensions optimales, longueur de grillage, coût total. Le budget est-il respecté ?
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Mise en équation. Soit x le côté parallèle au mur et y chacun des deux côtés perpendiculaires. Aire : x·y = 96. Longueur à grillager : L = x + 2y.
Optimisation. De x = 96/y, on tire L(y) = 96/y + 2y. La dérivée L'(y) = −96/y² + 2 s'annule pour y² = 48, soit y = 4√3 ≈ 6,93 m. Comme L''(y) = 192/y³ > 0, c'est bien un minimum. Alors x = 96/(4√3) = 8√3 ≈ 13,86 m.
Contrôle par l'inégalité arithmético-géométrique. x + 2y ≥ 2√(2xy) = 2√192 = 16√3 ≈ 27,71 m, avec égalité lorsque x = 2y : même résultat, ce qui sécurise le calcul.
Devis. Grillage : 16√3 × 4 500 ≈ 124 708 FCFA. Portail : 25 000 FCFA. Total ≈ 149 708 FCFA, soit environ 50 000 FCFA de marge sur les 200 000 FCFA. Le trésorier a donc raison dans l'hypothèse du grillage continu.
Réserve à signaler dès ce stade. La forme optimale est très allongée (rapport 2:1) et les dimensions ne sont pas des multiples de 2 m : ce devis n'est pas réalisable en l'état.
2. Reprenez le problème avec la contrainte réelle : toutes les longueurs grillagées sont des multiples de 2 m et l'aire doit valoir exactement 96 m². Montrez qu'il existe deux solutions de coût minimal, donnez ce coût, et dites comment trancher entre elles.
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Passage aux variables entières. Posons x = 2a et y = 2b avec a, b entiers positifs. L'aire s'écrit 4ab = 96, donc ab = 24. La longueur devient L = 2a + 4b = 2(a + 2b).
Énumération des diviseurs de 24.
| a | b | a + 2b | L (m) |
|---|---|---|---|
| 1 | 24 | 49 | 98 |
| 2 | 12 | 26 | 52 |
| 3 | 8 | 19 | 38 |
| 4 | 6 | 16 | 32 |
| 6 | 4 | 14 | 28 |
| 8 | 3 | 14 | 28 |
| 12 | 2 | 16 | 32 |
| 24 | 1 | 26 | 52 |
Deux optimums. (a,b) = (6,4) donne x = 12 m, y = 8 m ; (a,b) = (8,3) donne x = 16 m, y = 6 m. Les deux tiennent exactement 96 m² pour 28 m de grillage. Coût : 28 × 4 500 = 126 000 FCFA, plus 25 000 FCFA de portail, soit 151 000 FCFA - budget respecté, 49 000 FCFA de reste.
Comparaison avec l'optimum continu. 28 m contre 27,71 m : l'écart est faible, mais la solution continue est inconstructible ; l'arrondi « au plus proche » donnerait 28 m aussi, ce qui est ici une coïncidence et non une méthode.
Comment trancher : le critère n'est plus mathématique mais agronomique. La parcelle 16 × 6 m garde toute plantation à moins de 3 m d'un bord, ce qui facilite l'arrosage au arrosoir et le désherbage manuel ; la parcelle 12 × 8 m offre en revanche un côté de 8 m à l'ombre du mur, favorable en saison sèche. On choisit sur un critère explicite (accès à l'eau, ombre, largeur d'allée), en le consignant dans le devis.
3. Le budget est ramené à 140 000 FCFA. Montrez que 96 m² est inatteignable et proposez la plus grande surface réalisable avec des panneaux entiers.
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Vérification de la faisabilité. Après le portail, il reste 140 000 − 25 000 = 115 000 FCFA pour le grillage, soit 115 000 / 4 500 ≈ 25,56 m. Comme les panneaux font 2 m, la longueur maximale réellement achetable est 24 m. Or l'optimum discret précédent exigeait 28 m : la surface de 96 m² est donc hors budget, et il faut le dire clairement au proviseur plutôt que de rogner sur la qualité du grillage.
Maximisation sous contrainte. Avec L = 2a + 4b = 24, on a a = 12 − 2b, et l'aire vaut 4ab = 4b(12 − 2b) = 48b − 8b². Cette parabole atteint son maximum en b = 48/16 = 3, d'où a = 6. La parcelle optimale est donc de 12 m sur 6 m, soit 72 m² : 25 % de moins que la cible.
Contrôle du devis. Grillage : 24 × 4 500 = 108 000 FCFA ; portail : 25 000 FCFA ; total 133 000 FCFA, sous les 140 000 FCFA (7 000 FCFA de reste, à garder pour les semences plutôt qu'à dépenser en grillage superflu).
Argument à porter devant la coopérative. Réduire l'aire de 96 à 72 m² n'est pas un échec de calcul mais une conséquence arithmétique du budget : pour retrouver 96 m², il faut soit revenir à 151 000 FCFA, soit obtenir un don de 4 m de grillage, soit négocier la fourniture de panneaux de 1 m - trois options chiffrables, à trancher en assemblée.