Mathématiques - rigueur, récurrence et arithmétique
L'épreuve de mathématiques sélectionne sur la rigueur autant que sur le résultat : rédaction avec quantificateurs, justification de chaque implication, maîtrise du programme d'algèbre, d'analyse et de géométrie. Une réponse correcte mais non justifiée est traitée comme une conjecture.
Boîte à outils
- Récurrence en trois temps : initialisation, hérédité (hypothèse au rang n, preuve au rang n+1), conclusion explicite.
- Arithmétique : division euclidienne, PGCD par l'algorithme d'Euclide, théorème de Bézout, lemme de Gauss, petit théorème de Fermat.
- Analyse : théorème des valeurs intermédiaires, théorème des accroissements finis, croissances comparées (ln x / x tend vers 0), intégration par parties.
- Algèbre linéaire : rang, noyau, image, dimension, théorème du rang.
- Géométrie : vecteurs, produit scalaire, équations de droites et de cercles dans le plan.
Exemple traité
Montrer que, pour tout entier naturel n, N = n(n+1)(n+2) est divisible par 6. Raisonnement : on traite séparément les deux facteurs premiers, car 2 et 3 sont premiers entre eux. Divisibilité par 2 : parmi deux entiers consécutifs n et n+1, l'un est pair, donc 2 divise N. Divisibilité par 3 : on raisonne par disjonction de cas sur le reste de n modulo 3. Si n ≡ 0, alors 3 divise n. Si n ≡ 1, alors n+2 ≡ 0. Si n ≡ 2, alors n+1 ≡ 0. Dans les trois cas, 3 divise N. Conclusion : 2 divise N, 3 divise N et pgcd(2,3) = 1 ; d'après le lemme de Gauss, 6 divise N. Ce qui est évalué ici : l'exhaustivité des cas, l'usage du lemme de Gauss et la phrase de conclusion.
Rédaction attendue
- Écrire « soit ε > 0 », « il existe un rang N tel que… ».
- Encadrer les résultats, séparer nettement les questions.
- Vérifier les cas limites : n = 0, dénominateur non nul, intervalle ouvert ou fermé.
Pièges qui coûtent des points
- Confondre condition nécessaire et condition suffisante.
- Oublier l'initialisation d'une récurrence.
- Diviser par une quantité susceptible d'être nulle sans discuter.
- Conclure à la divisibilité par 6 après avoir seulement montré 3 divise N.
- Abandonner une question : la suivante utilise souvent le résultat admis.