Mathématiques : dimensionner une pépinière et vérifier un budget
La coopérative du lycée de Mbalmayo dispose d'un terrain rectangulaire en bordure d'une rivière. Les élèves veulent y installer une pépinière. Le côté qui longe la rivière n'a pas besoin de clôture ; les trois autres côtés seront fermés par du grillage. La coopérative achète 48 m de grillage et prévoit une porte de 2 m de large sur l'un des petits côtés. Le responsable du domaine impose que la longueur bordant la rivière ne dépasse pas 26 m, et que chaque petit côté mesure au moins 3 m pour que la porte s'ouvre correctement. Le grillage coûte 1 500 FCFA le mètre. Les poteaux coûtent 800 FCFA l'unité et doivent être placés tous les 2,5 m au maximum, y compris aux angles. La coopérative a reçu un budget de 90 000 FCFA. Avant d'acheter, les élèves doivent déterminer les dimensions qui donnent la plus grande surface cultivable, puis vérifier si le budget suffit.
1. On note x la largeur d'un petit côté, en mètres. Exprimez la longueur L bordant la rivière en fonction de x, puis justifiez que x appartient à un intervalle que vous préciserez.
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Le grillage couvre les deux petits côtés et le grand côté, moins la porte de 2 m : 2x + L − 2 = 48, donc L = 50 − 2x.
Contraintes : la porte impose x ≥ 3 ; la longueur bordant la rivière ne doit pas dépasser 26 m : 50 − 2x ≤ 26, soit x ≥ 12 ; enfin L > 0 donne x < 25. L'intervalle utile est donc [12 ; 25[. La contrainte x ≥ 3 est alors automatiquement satisfaite. Vérifier l'intervalle avant de dériver évite de proposer un maximum hors du domaine autorisé, erreur fréquente dans ce type de problème.
2. Montrez que la surface cultivable s'écrit S(x) = x(50 − 2x), puis déterminez les dimensions qui maximisent S. Vérifiez qu'elles respectent toutes les contraintes.
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S(x) = x(50 − 2x) = 50x − 2x². C'est un trinôme du second degré, de coefficient −2 < 0 : il admet un maximum au sommet x = −b/(2a) = −50/(2×−2) = 12,5. Alors L = 50 − 25 = 25 m et S = 12,5 × 25 = 312,5 m².
Vérification : x = 12,5 appartient bien à [12 ; 25[ ; L = 25 m ≤ 26 m ; la porte de 2 m tient sur un petit côté de 12,5 m. La surface maximale est donc 312,5 m², pour un rectangle de 12,5 m sur 25 m. Sans la contrainte L ≤ 26, le même calcul donnerait x = 12,5, mais il faut montrer que la solution reste admissible : c'est ce contrôle qui distingue une réponse complète d'un simple calcul de dérivée.
3. Calculez le coût du grillage et des poteaux pour ces dimensions. Le budget de 90 000 FCFA suffit-il ? Justifiez le nombre de poteaux et commentez la marge.
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Grillage : 48 m achetés, soit 48 × 1 500 = 72 000 FCFA. Poteaux : la longueur à clôturer est 48 m ; avec un espacement maximal de 2,5 m, il faut 48/2,5 = 19,2 intervalles, donc 20 intervalles, soit 21 poteaux (20 + 1, les angles étant comptés une fois). Coût : 21 × 800 = 16 800 FCFA. Total : 88 800 FCFA.
Le budget de 90 000 FCFA suffit, mais la marge n'est que de 1 200 FCFA, soit 1,3 %. Un poteau de rechange coûte 800 FCFA : il est prudent de l'acheter, il resterait 400 FCFA. En revanche, 22 poteaux suffisent ; 23 dépasseraient le budget (18 400 FCFA de poteaux, total 90 400 FCFA). Il faut aussi signaler que si le grillage est vendu par rouleaux de 10 m, l'achat de 50 m porterait le coût à 75 000 FCFA et le total à 91 800 FCFA : le budget serait alors insuffisant. La décision dépend donc de l'unité de vente, pas seulement du calcul théorique.