Mathématiques - analyse, suites, probabilités et géométrie
L'épreuve de mathématiques du Probatoire dépend de la série. En séries A et B, elle porte surtout sur les fonctions polynômes et homographiques, les suites, la statistique et les probabilités ; en séries C et D s'y ajoutent les limites et la continuité, l'exponentielle et le logarithme, les primitives et le calcul intégral, les nombres complexes (série C) et la géométrie de l'espace. Ce qui est noté, c'est la rigueur : un résultat juste sans justification perd la moitié des points.
Les outils incontournables
- Dérivation : (uv)' = u'v + uv' ; (u/v)' = (u'v − uv')/v² ; (u∘v)' = v' × u'∘v ; (ln u)' = u'/u ; (e^u)' = u'e^u.
- Tableau de variation : signe de f', puis monotonie, puis extremums.
- Suites arithmétiques : u_n = u_0 + nr ; somme = nombre de termes × (premier + dernier)/2.
- Suites géométriques : u_n = u_0 q^n ; somme = u_0(1 − q^(n+1))/(1 − q) pour q ≠ 1.
- Probabilités : P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) ; P(A∩B) = P(A) × P(B) si A et B sont indépendants ; P_A(B) = P(A∩B)/P(A).
- Statistique : moyenne, médiane (valeur qui partage l'effectif en deux), écart-type.
Exemple travaillé
Soit f(x) = x³ − 3x sur ℝ. Calculer f'(x) et dresser le tableau de variation.
- f est un polynôme, donc dérivable sur ℝ : f'(x) = 3x² − 3.
- On factorise pour étudier le signe : f'(x) = 3(x − 1)(x + 1).
- f'(x) > 0 sur ]−∞ ; −1[ et sur ]1 ; +∞[ ; f'(x) < 0 sur ]−1 ; 1[.
- f est donc croissante, puis décroissante, puis croissante : maximum local f(−1) = −1 + 3 = 2 ; minimum local f(1) = 1 − 3 = −2. Le raisonnement est complet parce que chaque conclusion s'appuie sur le signe de la dérivée, pas sur un dessin.
Les pièges
- Oublier le domaine de définition (dénominateur nul, argument du logarithme strictement positif, radicande positif).
- Confondre f et f' dans le tableau de variation.
- Écrire une limite sans lever l'indétermination (factoriser par le terme dominant).
- Arrondir trop tôt en probabilités et en statistique.
- Ne pas traiter les questions « en déduire », qui rapportent souvent plus que le calcul initial.