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First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Sets and Common Logical Connectives (集合与常用逻辑用语)

已知集合 A={1,2,3}，B={2,3,4}，则 A∩B 等于（ ）

  1. {1,2,3,4}
  2. {2,3} Correct answer.
  3. {1,4}
  4. ∅

Explanation

交集是由同时属于 A 与 B 的元素组成的集合，因此只需找出两集合的公共元素。逐一比较可见 1 只在 A 中，4 只在 B 中，公共元素为 2 与 3。故 A∩B={2,3}。

Question 2Sets and Common Logical Connectives (集合与常用逻辑用语)

命题“∀x>0，x²+x>0”的否定是（ ）

  1. ∃x>0，x²+x<0
  2. ∃x≤0，x²+x≤0
  3. ∀x>0，x²+x≤0
  4. ∃x>0，x²+x≤0 Correct answer.

Explanation

全称命题的否定是存在性命题：把量词 ∀ 改成 ∃，同时把结论换成它的否定。结论“x²+x>0”的否定是“x²+x≤0”，而前提 x>0 保持不变。

Question 3Sets and Common Logical Connectives (集合与常用逻辑用语)

“x>1”是“x²>1”的（ ）

  1. 充分不必要条件 Correct answer.
  2. 必要不充分条件
  3. 充分必要条件
  4. 既不充分也不必要条件

Explanation

若 x>1，则两边乘以正数 x 得 x²>x>1，故 x²>1 一定成立，说明条件是充分的。但取 x=-2 时 x²=4>1，而 x>1 不成立，说明条件不是必要的。因此“x>1”是“x²>1”的充分不必要条件。

Question 4Sets and Common Logical Connectives (集合与常用逻辑用语)

已知集合 A={x|x²-3x+2=0}，B={x|ax=1}。若 B⊆A，则实数 a 的所有可能取值之和为（ ）

  1. 3/2 Correct answer.
  2. 0
  3. 1/2
  4. 1

Explanation

解方程得 A={1,2}。当 a=0 时方程 ax=1 无解，B=∅，而空集是任何集合的子集，符合条件。当 a≠0 时 B={1/a}，需 1/a=1 或 1/a=2，即 a=1 或 a=1/2。故 a 的可能取值为 0，1，1/2，三者之和为 3/2。

Question 5Sets and Common Logical Connectives (集合与常用逻辑用语)

集合 M={1,2,3,4,5} 的子集中，含有元素 1 且不含元素 2 的子集个数为（ ）

  1. 16
  2. 8 Correct answer.
  3. 32
  4. 4

Explanation

按要求元素 1 必须取、元素 2 必须不取，二者已确定。剩余元素 3，4，5 各自都有“取”与“不取”两种选择，共 2³ 种。因此符合条件的子集共有 8 个。

Question 6Sets and Common Logical Connectives (集合与常用逻辑用语)

若命题“∀x∈R，x²-2x+a≥0”是真命题，则实数 a 的取值范围是（ ）

  1. a>1
  2. a≤1
  3. a≥1 Correct answer.
  4. a<1

Explanation

配方得 x²-2x+a=(x-1)²+a-1，由于 (x-1)²≥0，该式的最小值为 a-1。要对一切实数 x 都有不等式成立，必须且只需 a-1≥0，即 a≥1；当 a=1 时 x=1 处取等号也成立。

Question 7Sets and Common Logical Connectives (集合与常用逻辑用语)

某班 50 名学生中，30 人喜欢数学，25 人喜欢物理，10 人两科都喜欢。则该班只喜欢其中一科的人数为（ ）

  1. 45
  2. 35 Correct answer.
  3. 25
  4. 40

Explanation

由容斥原理，至少喜欢一科的人数为 30+25-10=45。只喜欢数学的有 30-10=20 人，只喜欢物理的有 25-10=15 人，合计 20+15=35 人；也可用 45-2×10=35 得到。

Question 8Sets and Common Logical Connectives (集合与常用逻辑用语)

设集合 A={x|(x-a)(x-1)<0}，B={x|1<x<3}。若 A⊆B，则实数 a 的取值范围是（ ）

  1. 1≤a≤3 Correct answer.
  2. 1<a≤3
  3. a<1
  4. a>3

Explanation

当 a=1 时不等式化为 (x-1)²<0，无解，A=∅，满足 A⊆B。当 a>1 时 A=(1,a)，要使其包含于 (1,3) 需 a≤3，得 1<a≤3。当 a<1 时 A=(a,1)，含有小于 1 的数，不可能包含于 B。综上 1≤a≤3。

Question 9Functions and Derivatives (函数与导数)

函数 f(x) = √(x − 2) + ln(5 − x) 的定义域是（ ）

  1. [2, 5]
  2. (2, 5)
  3. [2, 5) Correct answer.
  4. (2, 5]

Explanation

被开方数必须非负，故 x − 2 ≥ 0，得 x ≥ 2；对数的真数必须为正，故 5 − x > 0，得 x < 5。两个条件取交集，得区间 [2, 5)。端点 5 要排除，因为 ln0 无意义，而 x = 2 可以取到，因为 √0 = 0 有意义。

Question 10Functions and Derivatives (函数与导数)

下列函数中是奇函数的是（ ）

  1. f(x) = e^x
  2. f(x) = x³ + x Correct answer.
  3. f(x) = x² + 1
  4. f(x) = |x|

Explanation

奇函数要求定义域关于原点对称，且对任意 x 都有 f(−x) = −f(x)。对 f(x) = x³ + x，f(−x) = −x³ − x = −(x³ + x) = −f(x)，而定义域 ℝ 关于原点对称，所以它是奇函数。x² + 1 与 |x| 都满足 f(−x) = f(x)，是偶函数；e^x 既不满足 f(−x) = f(x)，也不满足 f(−x) = −f(x)。

Question 11Functions and Derivatives (函数与导数)

设 f(x) = { x + 1, x < 0 ; 2^x, x ≥ 0 }，则 f(f(−2)) = （ ）

  1. −1
  2. 0 Correct answer.
  3. 2
  4. 1

Explanation

先求内层：因为 −2 < 0，所以使用第一段函数，得 f(−2) = −2 + 1 = −1。再求外层：因为 −1 < 0，仍使用第一段函数，得 f(−1) = −1 + 1 = 0。指数段 2^x 在这里没有被用到，因为两次输入都是负数。

Question 12Functions and Derivatives (函数与导数)

函数 f(x) = x² − 4x + 3 的单调递减区间是（ ）

  1. [4, +∞)
  2. [2, +∞)
  3. (−∞, 4]
  4. (−∞, 2] Correct answer.

Explanation

二次函数开口向上，在其对称轴左侧递减、右侧递增。配方得 f(x) = (x − 2)² − 1，所以对称轴为 x = 2，顶点处取到最小值。因此 f 在 (−∞, 2] 上递减，在 [2, +∞) 上递增。

Question 13Functions and Derivatives (函数与导数)

设 f(x) = x³，则极限 lim(h→0) [f(1 + h) − f(1)] / h = （ ）

  1. 2
  2. 1
  3. 3 Correct answer.
  4. 0

Explanation

该极限正是 f 在 x = 1 处的导数定义式，因此它等于 f′(1)。由 f′(x) = 3x² 得 f′(1) = 3。直接展开也能验证：(1 + h)³ = 1 + 3h + 3h² + h³，减去 1 再除以 h 得 3 + 3h + h²，当 h → 0 时趋于 3。

Question 14Functions and Derivatives (函数与导数)

曲线 y = x ln x 在 x = 1 处的切线方程是（ ）

  1. y = x − 1 Correct answer.
  2. y = 2x − 2
  3. y = x + 1
  4. y = x

Explanation

当 x = 1 时 f(1) = 1·ln1 = 0，所以切点为 (1, 0)。由乘积求导法则得 f′(x) = ln x + 1，于是切线斜率为 f′(1) = ln1 + 1 = 1。由点斜式得 y − 0 = 1·(x − 1)，即 y = x − 1。

Question 15Functions and Derivatives (函数与导数)

函数 f(x) = (x² + 1)e^x 的导数 f′(x) = （ ）

  1. (x − 1)²e^x
  2. (x + 1)²e^x Correct answer.
  3. (x² + 2)e^x
  4. (2x + 1)e^x

Explanation

由乘积求导法则，设 u = x² + 1、v = e^x，则 u′ = 2x、v′ = e^x。于是 f′(x) = 2x·e^x + (x² + 1)e^x = (x² + 2x + 1)e^x。把二次式因式分解得 f′(x) = (x + 1)²e^x。

Question 16Functions and Derivatives (函数与导数)

函数 f(x) = ln(3x + 2) 的导数 f′(x) = （ ）

  1. 1/(3x + 2)
  2. 3/(3x + 2) Correct answer.
  3. 1/(3x)
  4. 3x/(3x + 2)

Explanation

由复合函数求导法则，先对内层 3x + 2 求导得 3，再乘以外层对数函数的导数 1/(3x + 2)。所以 f′(x) = 3/(3x + 2)。系数 3 必须出现在分子上，而不能留在分母里。

Question 17Functions and Derivatives (函数与导数)

函数 f(x) = x³ − 3x 的极大值是（ ）

  1. 2 Correct answer.
  2. 0
  3. −2
  4. 1

Explanation

令 f′(x) = 3x² − 3 = 0，得驻点 x = −1 与 x = 1。在 (−∞, −1) 与 (1, +∞) 上 f′ > 0，在 (−1, 1) 上 f′ < 0，所以函数先增后减再增，极大值点在 x = −1 处。代入得 f(−1) = −1 + 3 = 2。

Question 18Functions and Derivatives (函数与导数)

函数 f(x) = x − ln x (x > 0) 的单调递减区间是（ ）

  1. (0, 1) Correct answer.
  2. (−∞, 1)
  3. (0, +∞)
  4. (1, +∞)

Explanation

定义域为 x > 0，且 f′(x) = 1 − 1/x = (x − 1)/x。分母恒正，所以 f′ 的符号由 x − 1 决定，当 0 < x < 1 时 f′ < 0。因此 f 在 (0, 1) 上递减，在 (1, +∞) 上递增。

Question 19Functions and Derivatives (函数与导数)

已知 f(x) = 2^x，则 f⁻¹(8) = （ ）

  1. 2
  2. 3 Correct answer.
  3. 1/3
  4. 8

Explanation

反函数的作用是“还原”以 2 为底的指数运算，因此 f⁻¹(y) = log₂ y。于是 f⁻¹(8) = log₂ 8 = 3，因为 2³ = 8。也可以直接解方程 2^x = 8，得到 x = 3。

Question 20Functions and Derivatives (函数与导数)

设 f(x) 是定义在 ℝ 上的奇函数，且 f(2) = 5，则 f(−2) = （ ）

  1. 0
  2. −5 Correct answer.
  3. 由已知条件无法确定
  4. 5

Explanation

奇函数满足 f(−x) = −f(x) 对定义域内任意 x 成立。取 x = 2，得 f(−2) = −f(2) = −5。这里不需要知道 f 的解析式，仅凭对称性就能确定函数值。

Question 21Functions and Derivatives (函数与导数)

不等式 log₂(x − 1) < 1 的解集是（ ）

  1. (0, 3)
  2. (1, 2)
  3. (−∞, 3)
  4. (1, 3) Correct answer.

Explanation

先考虑定义域：真数 x − 1 > 0，即 x > 1。由于以 2 为底的对数函数单调递增，log₂(x − 1) < 1 = log₂2 等价于 x − 1 < 2，即 x < 3。与定义域取交集，得解集 (1, 3)。

Question 22Functions and Derivatives (函数与导数)

方程 x³ + x − 1 = 0 的实根个数是（ ）

  1. 1 Correct answer.
  2. 0
  3. 3
  4. 2

Explanation

设 f(x) = x³ + x − 1，则 f′(x) = 3x² + 1 > 0，所以 f 在 ℝ 上严格递增，最多只有一个实根。又 f(0) = −1 < 0，f(1) = 1 > 0，由零点存在定理知在 (0, 1) 内至少有一个实根。因此恰有一个实根。

Question 23Functions and Derivatives (函数与导数)

函数 f(x) = x + 2cos x 在区间 [0, π/2] 上的最大值是（ ）

  1. π/6 + √3 Correct answer.
  2. π/2
  3. π/3 + 1
  4. 2

Explanation

f′(x) = 1 − 2sin x，在 [0, π/2] 上仅当 sin x = 1/2 即 x = π/6 时为零。在 x = π/6 左侧 f′ > 0、右侧 f′ < 0，所以该点为最大值点。计算得 f(π/6) = π/6 + 2·(√3/2) = π/6 + √3 ≈ 2.26。端点值 f(0) = 2、f(π/2) = π/2 ≈ 1.57 都更小。

Question 24Functions and Derivatives (函数与导数)

若不等式 x² − ax + 1 ≥ 0 对任意 x > 0 都成立，则实数 a 的取值范围是（ ）

  1. a ≤ 1
  2. a ≥ 1
  3. a ≤ 2 Correct answer.
  4. a ≥ 2

Explanation

把不等式变形为 a ≤ x + 1/x，要求它对一切 x > 0 成立，只需 a 不超过右边的最小值。由基本不等式 x + 1/x ≥ 2，当且仅当 x = 1 时取等号，故右边的最小值为 2。因此 a ≤ 2，且 a = 2 可以取到，因为此时在 x = 1 处恰好取等。

Question 25Functions and Derivatives (函数与导数)

若方程 ln x = ax 有两个不同的正根，则实数 a 的取值范围是（ ）

  1. (0, e)
  2. (0, 1)
  3. (0, 1/e) Correct answer.
  4. (1/e, +∞)

Explanation

方程的根就是曲线 y = ln x 与过原点的直线 y = ax 的交点横坐标。设直线与曲线相切于 x = t，则斜率 1/t 等于 (ln t)/t，解得 t = e，此时斜率为 1/e。当 0 < a < 1/e 时直线与曲线有两个交点；当 a ≥ 1/e 时至多有一个交点。故所求范围为 (0, 1/e)。

Question 26Functions and Derivatives (函数与导数)

过点 (0, 2) 且与曲线 y = x³ − 3x 相切的直线条数是（ ）

  1. 0
  2. 2
  3. 1 Correct answer.
  4. 3

Explanation

设切点横坐标为 t，则切线方程为 y = (3t² − 3)(x − t) + t³ − 3t。把 (0, 2) 代入得 2 = −3t³ + 3t + t³ − 3t = −2t³，故 t³ = −1，t = −1。该方程只有一个实根，所以这样的切线恰有一条，即切点为 (−1, 2) 处的水平切线 y = 2。

Question 27Functions and Derivatives (函数与导数)

用长 20 的篱笆围成一个矩形场地，则该场地面积的最大值是（ ）

  1. 25 Correct answer.
  2. 20
  3. 24
  4. 100

Explanation

设矩形一边长为 x，由周长 2(x + y) = 20 得邻边 y = 10 − x，其中 0 < x < 10。面积为 A(x) = x(10 − x) = 25 − (x − 5)²，这是开口向下的二次函数，当 x = 5 时取最大值 25。也就是说，周长固定时正方形面积最大。

Question 28Functions and Derivatives (函数与导数)

要得到函数 y = 2^(x−1) 的图象，只需把 y = 2^x 的图象（ ）

  1. 向上平移 1 个单位
  2. 向右平移 1 个单位 Correct answer.
  3. 向左平移 1 个单位
  4. 向下平移 1 个单位

Explanation

把 y = 2^x 中的 x 换成 x − 1，图象就向右平移 1 个单位，因为原图象上的点 (a, 2^a) 对应新图象上的点 (a + 1, 2^a)。对自变量的加减属于水平平移，其方向与符号表面所示相反。竖直方向的平移必须把常数加在函数外部，例如 2^x + 1。

Question 29Functions and Derivatives (函数与导数)

已知 f(x) = e^x sin x，则 f′(0) = （ ）

  1. 1 Correct answer.
  2. 0
  3. e
  4. 2

Explanation

由乘积求导法则，f′(x) = e^x sin x + e^x cos x = e^x(sin x + cos x)。当 x = 0 时 e⁰ = 1，sin0 = 0，cos0 = 1。因此 f′(0) = 1·(0 + 1) = 1。

Question 30Functions and Derivatives (函数与导数)

若函数 f(x) = { (x² − 1)/(x − 1), x ≠ 1 ; k, x = 1 } 在 x = 1 处连续，则 k = （ ）

  1. 0
  2. 1
  3. 2 Correct answer.
  4. 不存在这样的 k

Explanation

当 x ≠ 1 时，(x² − 1)/(x − 1) = x + 1，所以当 x → 1 时函数值趋于 1 + 1 = 2。函数在 x = 1 处连续，要求该点的函数值等于极限值。因此 k = 2。

Question 31Functions and Derivatives (函数与导数)

若函数 f(x) = x³ − 3ax + 1 在区间 [1, +∞) 上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ）

  1. a ≤ 1 Correct answer.
  2. a ≤ 3
  3. a ≥ 0
  4. a ≥ 1

Explanation

单调递增要求 f′(x) = 3x² − 3a ≥ 0 对一切 x ≥ 1 成立。两边除以 3 得 a ≤ x²，而 x² 在 [1, +∞) 上的最小值为 1，在 x = 1 处取到。因此 a ≤ 1；当 a = 1 时 f′(1) = 0，但 f′ 在其余点仍非负，函数依然单调递增。

Question 32Functions and Derivatives (函数与导数)

设 a = ln2/2，b = ln3/3，c = ln5/5，则 a, b, c 的大小关系是（ ）

  1. a > b > c
  2. b > c > a
  3. b > a > c Correct answer.
  4. c > b > a

Explanation

考察函数 g(x) = ln x / x，其导数 g′(x) = (1 − ln x)/x²，故 g 在 (0, e) 上递增，在 (e, +∞) 上递减。因为 2 < 3 < e，所以 g(2) < g(3)；又 5 > e，所以 g(5) < g(3)。再比较 g(2) 与 g(5)：5ln2 = ln32 > ln25 = 2ln5，故 g(2) > g(5)。综上得 b > a > c。

Question 33Functions and Derivatives (函数与导数)

极限 lim(x→∞) (3x² − 2x + 1)/(x² + 1) = （ ）

  1. 3 Correct answer.
  2. 0
  3. 1
  4. ∞

Explanation

分子分母同除以 x²，得 (3 − 2/x + 1/x²)/(1 + 1/x²)。当 x → ∞ 时，所有分母含 x 的项都趋于 0，因此极限为 3/1 = 3。一般地，当分子分母次数相同时，有理式的极限等于最高次项系数之比。

Question 34Functions and Derivatives (函数与导数)

函数 f(x) = ln(x − 1) + 1/√(3 − x) 的定义域是（ ）

  1. [1, 3]
  2. [1, 3)
  3. (1, 3]
  4. (1, 3) Correct answer.

Explanation

求定义域要对式子中每一部分分别列出成立条件，再取它们的交集。对数 ln(x − 1) 要求真数为正，即 x − 1 > 0，得 x > 1；根式在分母上，要求被开方数为正，即 3 − x > 0，得 x < 3。两个条件同时满足得 1 < x < 3，且 x = 1 与 x = 3 都不能取到（前者使对数为零，后者使分母为零），故定义域为开区间 (1, 3)。

Question 35Functions and Derivatives (函数与导数)

已知函数 f(x) 的定义域为 [0, 2]，则函数 g(x) = f(2x − 1) 的定义域是（ ）

  1. [−1, 1]
  2. [1/2, 3/2] Correct answer.
  3. [0, 2]
  4. [−1/2, 3/2]

Explanation

复合函数的定义域问题，本质是要求内层表达式 2x − 1 的整体取值落在 f 的定义域 [0, 2] 内。于是解不等式 0 ≤ 2x − 1 ≤ 2：两边加 1 得 1 ≤ 2x ≤ 3，再除以 2 得 1/2 ≤ x ≤ 3/2。两个端点都能使内层取值落在 [0, 2] 内，因此可以取到，定义域为闭区间 [1/2, 3/2]。

Question 36Functions and Derivatives (函数与导数)

设 f(x) 在 x₀ 处可导且 f′(x₀) = 2，则极限 lim(Δx→0) [f(x₀ + 3Δx) − f(x₀)]/Δx 等于（ ）

  1. 2
  2. 2/3
  3. 6 Correct answer.
  4. 3

Explanation

导数定义给出 lim(h→0)[f(x₀ + h) − f(x₀)]/h = f′(x₀)，关键是让分子中的增量与分母保持一致。把原式凑成标准形式：原式 = 3 · lim(Δx→0)[f(x₀ + 3Δx) − f(x₀)]/(3Δx) = 3f′(x₀)。代入 f′(x₀) = 2，得极限值为 6。

Question 37Functions and Derivatives (函数与导数)

已知 f(x) = x³ − 3x² + 2，则 f′(1) = （ ）

  1. 3
  2. −3 Correct answer.
  3. 9
  4. 0

Explanation

先用幂函数的求导公式逐项求导：(x³)′ = 3x²，(−3x²)′ = −6x，常数项 2 的导数为 0，所以 f′(x) = 3x² − 6x。再把 x = 1 代入得 f′(1) = 3 − 6 = −3。注意题目问的是导数值而不是函数值。

Question 38Functions and Derivatives (函数与导数)

已知定义在 ℝ 上的函数 f(x) 满足对任意 x 都有 f(x + 3) = f(x)，且 f(0) = 4，f(1) = 2，f(2) = −1，则 f(2026) = （ ）

  1. −1
  2. 2026
  3. 2 Correct answer.
  4. 4

Explanation

由 f(x + 3) = f(x) 可知 f 是以 3 为周期的周期函数，自变量相差 3 的整数倍时函数值相等。把 2026 写成 2026 = 3 × 675 + 1，于是 f(2026) = f(1)。已知 f(1) = 2，故 f(2026) = 2。

Question 39Functions and Derivatives (函数与导数)

极限 lim(x→0) sin 3x / (2x) 等于（ ）

  1. 3/2 Correct answer.
  2. 3
  3. 2/3
  4. 0

Explanation

利用重要极限 lim(t→0) sin t / t = 1。把原式恒等变形为 sin 3x / (2x) = (3/2) · sin 3x / (3x)，当 x→0 时 3x→0，故 sin 3x / (3x) → 1。因此整个极限等于系数 3/2 乘以 1，即 3/2。这类题的关键是把分子中的角与分母配成同一个整体。

Question 40Functions and Derivatives (函数与导数)

已知 f(x) = (2x + 1)/(x − 1)，则 f′(x) = （ ）

  1. −3/(x − 1)² Correct answer.
  2. 3/(x − 1)²
  3. −1/(x − 1)²
  4. −3/(x − 1)

Explanation

使用商的求导法则 (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²，其中 u = 2x + 1，v = x − 1，则 u′ = 2，v′ = 1。分子为 u′v − uv′ = 2(x − 1) − (2x + 1) = 2x − 2 − 2x − 1 = −3，分母为 v² = (x − 1)²。故 f′(x) = −3/(x − 1)²。

Question 41Functions and Derivatives (函数与导数)

已知 f(x) = x ln x (x > 0)，则 f″(x) = （ ）

  1. 1/x Correct answer.
  2. −1/x²
  3. ln x
  4. 1/x + 1

Explanation

先用乘积法则求一阶导数：f′(x) = (x)′·ln x + x·(ln x)′ = ln x + x·(1/x) = ln x + 1。再对 f′(x) = ln x + 1 求导，其中 (ln x)′ = 1/x，常数 1 的导数为 0，所以 f″(x) = 1/x。二阶导数就是在一阶导数基础上再求一次导。

Question 42Functions and Derivatives (函数与导数)

若直线 y = 2x + b 与曲线 y = ln x 相切，则 b = （ ）

  1. −2 − ln 2
  2. −1 − ln 2 Correct answer.
  3. −ln 2
  4. 1 − ln 2

Explanation

设切点横坐标为 x₀，曲线 y = ln x 在该点的切线斜率为 1/x₀，由斜率等于 2 得 1/x₀ = 2，即 x₀ = 1/2。切点纵坐标为 ln(1/2) = −ln 2。切点同时在直线上，故 −ln 2 = 2 × (1/2) + b = 1 + b，解得 b = −1 − ln 2。

Question 43Functions and Derivatives (函数与导数)

函数 f(x) = x eˣ 的单调递增区间是（ ）

  1. (−∞, −1)
  2. (−∞, 1)
  3. (−1, +∞) Correct answer.
  4. (1, +∞)

Explanation

用乘积法则求导：f′(x) = (x)′eˣ + x(eˣ)′ = eˣ + x eˣ = eˣ(x + 1)。由于 eˣ 对任意实数都为正，f′(x) 的符号完全由因式 x + 1 决定。由 x + 1 > 0 得 x > −1，故函数在 (−1, +∞) 上单调递增，在 (−∞, −1) 上单调递减。

Question 44Functions and Derivatives (函数与导数)

函数 f(x) = x e⁻ˣ 在区间 [0, 2] 上的最大值是（ ）

  1. e⁻²
  2. 1/e Correct answer.
  3. 2e⁻²
  4. 0

Explanation

求导得 f′(x) = e⁻ˣ − x e⁻ˣ = e⁻ˣ(1 − x)。当 0 ≤ x < 1 时 f′(x) > 0，当 1 < x ≤ 2 时 f′(x) < 0，所以 x = 1 是极大值点，也是区间上的最大值点。计算 f(1) = 1 · e⁻¹ = 1/e ≈ 0.368，而端点值 f(0) = 0、f(2) = 2e⁻² ≈ 0.271 都更小，故最大值为 1/e。

Question 45Functions and Derivatives (函数与导数)

设 f(x) 是定义在 ℝ 上的偶函数，且在 [0, +∞) 上单调递增，则 f(−2)，f(1)，f(1/2) 的大小关系是（ ）

  1. f(1/2) < f(−2) < f(1)
  2. f(1) < f(1/2) < f(−2)
  3. f(−2) < f(1) < f(1/2)
  4. f(1/2) < f(1) < f(−2) Correct answer.

Explanation

由偶函数性质得 f(−2) = f(2)，因此只需比较 f(1/2)、f(1)、f(2) 三个函数值。f 在 [0, +∞) 上单调递增，而 1/2 < 1 < 2，所以 f(1/2) < f(1) < f(2)。再用 f(2) = f(−2) 替换，即得 f(1/2) < f(1) < f(−2)。

Question 46Functions and Derivatives (函数与导数)

函数 f(x) = ln x + 2x − 6 的零点所在的区间是（ ）

  1. (1, 2)
  2. (4, 5)
  3. (3, 4)
  4. (2, 3) Correct answer.

Explanation

f 在 (0, +∞) 上连续，且 f′(x) = 1/x + 2 > 0，故 f 单调递增，零点至多一个。计算函数值：f(2) = ln 2 + 4 − 6 = ln 2 − 2 < 0，f(3) = ln 3 + 6 − 6 = ln 3 > 0。两端函数值异号，由零点存在定理，零点位于区间 (2, 3) 内。

Question 47Functions and Derivatives (函数与导数)

若函数 f(x) = x³ + ax² + x 在 ℝ 上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ）

  1. [−3, 3]
  2. (−√3, √3)
  3. [−√3, √3] Correct answer.
  4. [−1, 1]

Explanation

求导得 f′(x) = 3x² + 2ax + 1，f 在 ℝ 上单调递增的充要条件是 f′(x) ≥ 0 对一切 x 成立。这是一个开口向上的二次函数，需判别式 Δ = 4a² − 12 ≤ 0，解得 a² ≤ 3，即 −√3 ≤ a ≤ √3。当 a = ±√3 时 f′(x) 只在个别点等于 0，不影响函数整体单调递增，故端点可以取到。

Question 48Functions and Derivatives (函数与导数)

若函数 f(x) = x³ − 3x + a 恰有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是（ ）

  1. (−2, 2) Correct answer.
  2. (0, 2)
  3. [−2, 2]
  4. (−2, 0)

Explanation

求导得 f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1)，故 f 在 x = −1 处取极大值 f(−1) = a + 2，在 x = 1 处取极小值 f(1) = a − 2。三次函数恰有三个不同零点，当且仅当极大值大于 0 且极小值小于 0，即 a + 2 > 0 且 a − 2 < 0，解得 −2 < a < 2。当 a = ±2 时曲线与 x 轴相切，只产生两个不同零点。

Question 49Functions and Derivatives (函数与导数)

方程 2ˣ = x² 的实根个数是（ ）

  1. 1
  2. 4
  3. 2
  4. 3 Correct answer.

Explanation

令 g(x) = 2ˣ − x²，则 g(0) = 1 > 0 而 g(−1) = 0.5 − 1 < 0，由零点存在定理在 (−1, 0) 内有一个负根。当 x > 0 时，g(2) = 0、g(4) = 0，且 g 在 (0, 2) 上为正、在 (2, 4) 上为负、在 (4, +∞) 上为正，故正根恰为 x = 2 与 x = 4。综上，方程共有 3 个实根。

Question 50Functions and Derivatives (函数与导数)

若函数 f(x) = x ln x − ax² 有两个极值点，则实数 a 的取值范围是（ ）

  1. (0, 1)
  2. (1/2, +∞)
  3. (0, 1/2) Correct answer.
  4. (−∞, 1/2)

Explanation

求导得 f′(x) = ln x + 1 − 2ax，极值点要求方程 f′(x) = 0 在 (0, +∞) 内有两个不同实根。把方程整理为 (ln x + 1)/x = 2a，记 h(x) = (ln x + 1)/x，则 h′(x) = −ln x / x²，h 在 (0, 1) 上递增、在 (1, +∞) 上递减，最大值 h(1) = 1，且 x→0⁺ 时 h→−∞，x→+∞ 时 h→0⁺。要使水平直线 y = 2a 与 y = h(x) 有两个交点，需 0 < 2a < 1，即 0 < a < 1/2。