Rollende Kugel auf der Schiene: Reibung, Rotation oder defekte Lichtschranke?
Im Grundkurs Physik wird die Energieerhaltung am Beispiel einer rollenden Kugel geprüft. Eine Stahlkugel (Durchmesser 2,0 cm, Masse 32 g) startet aus der Ruhe auf einer 42 cm hohen Aluminiumschiene und rollt hinunter. Am Fuß der Schiene quert sie den Strahl einer Lichtschranke, die Durchtrittszeiten von 8,7 ms, 8,8 ms und 8,6 ms anzeigt. Vorhergesagt war v = √(2gh) ≈ 2,9 m/s. Ein Schüler hält die Lichtschranke für defekt, weil die Anzeige zu klein sei; eine Mitschülerin vermutet Reibung. Die Lehrkraft verlangt, zuerst die Modelle gleitender Klotz, rollende Vollkugel und rollende Hohlkugel quantitativ zu vergleichen, bevor über einen Defekt gesprochen wird; die Trägheitsmomente hängen an der Tafel. Außerdem liegt eine gleich große Kunststoff-Hohlkugel bereit, die mit derselben Apparatur untersucht werden kann; die Kugeln werden vor jedem Lauf mit einem Tuch abgewischt. Die Schiene ist höhenverstellbar, sodass auch 0,20 m, 0,30 m und 0,55 m eingestellt werden können.
1. Berechnen Sie aus den Messzeiten die Geschwindigkeit am Schienenende und vergleichen Sie sie mit den drei Modellen. Entscheiden Sie begründet, welches Modell die Messung beschreibt und ob ein Defekt der Lichtschranke plausibel ist.
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Messwert: Die Kugel unterbricht den Strahl auf der Länge ihres Durchmessers, also gilt v = d/t. Mit dem mittleren t = 8,7 ms: v = 0,020 m / 8,7·10⁻³ s = 2,30 m/s. Die drei Zeiten liefern 2,27 bis 2,33 m/s, die Streuung liegt also bei etwa 1 %.
Modelle für h = 0,42 m und g = 9,81 m/s²:
- gleitender Klotz: v = √(2gh) = √8,24 = 2,87 m/s
- rollende Vollkugel (I = 2/5 mr²): v = √(10gh/7) = 2,43 m/s
- rollende Hohlkugel (I = 2/3 mr²): v = √(6gh/5) = 2,22 m/s
Entscheidung: Die Messung liegt 20 % unter dem Gleitmodell und damit weit außerhalb jeder sinnvollen Messunsicherheit – ein Defekt der Lichtschranke, der genau diesen Betrag erzeugen würde, wäre ein sehr großer Zufall. Beide Rollmodelle liegen dagegen in der Nähe des Messwerts, die Rotation muss also berücksichtigt werden. Der Messwert liegt zwischen Hohlkugel und Vollkugel, aber näher an der Vollkugel.
Fazit: Das Rollmodell für eine Vollkugel beschreibt die Messung im Trend richtig, erklärt sie aber nicht vollständig; es bleibt ein Restdefizit von (2,43 − 2,30)/2,43 ≈ 5 %. Dieses Restdefizit ist größer als die Streuung der Zeiten und muss als systematischer Energieverlust gedeutet werden, nicht als Ausreißer.
2. Bestimmen Sie aus v = 2,30 m/s ein effektives Trägheitsmoment in der Form I = k·m·r² unter der Annahme, dass nur Rotations- und Translationsenergie auftreten, und beurteilen Sie, ob dieser Wert physikalisch sinnvoll ist.
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Ansatz: Energiebilanz mgh = ½mv² + ½Iω² mit ω = v/r ergibt mgh = ½mv²(1 + k) und damit
k = 2gh/v² − 1 = 8,240/5,288 − 1 = 0,56.
Vergleich: Vollkugel k = 0,40; Hohlkugel k = 0,67; Zylinder k = 0,50.
Beurteilung: Der Wert 0,56 gehört zu keinem der bereitliegenden Körper. Man darf daraus nicht schließen, die Kugel sei „halb hohl“ – die Stahlkugel ist massiv. Der Effekt entsteht, weil das Modell jede fehlende Energie der Rotation zuschreibt. Tatsächlich geht ein Teil der Energie als Rollreibung, Luftwiderstand und Schall in die Umgebung; diese Verluste erscheinen im Modell als zusätzliches Trägheitsmoment. Der Wert 0,56 ist damit ein Mischparameter aus Rotation (0,40) und Verlusten (rund 0,16 scheinbarer Anteil) und physikalisch nur als obere Schranke für den Rotationseinfluss sinnvoll.
Konsequenz für die Auswertung: Wer aus einer einzigen Geschwindigkeitsmessung auf das Trägheitsmoment schließen will, muss die Verluste kennen – sonst ist die Größe systematisch zu groß. Genau deshalb ist die Aufgabe, den Verlust getrennt zu messen, sinnvoller als die Suche nach der „passenden“ Kugelform.
3. Schlagen Sie mit der vorhandenen Apparatur eine Messreihe vor, mit der sich entscheiden lässt, ob das Restdefizit von 5 % von Reibung oder von einem systematischen Fehler der Lichtschrankenmessung stammt. Erläutern Sie für beide Fälle die erwartete Signatur.
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Vorschlag: Dieselbe Kugel bei h = 0,20 m, 0,30 m, 0,42 m und 0,55 m messen und jeweils das Verhältnis v/√(2gh) auftragen; zusätzlich die Kunststoff-Hohlkugel bei gleichem h untersuchen. Außerdem die Strahlhöhe der Lichtschranke variieren (Mitte der Kugel versus Randnähe).
Signatur reine Rollreibung: Das Verhältnis v/√(2gh) sinkt mit wachsender Fallhöhe, weil der zurückgelegte Weg und damit die Reibungsarbeit überproportional zum Höhenunterschied wachsen; bei der leichteren Hohlkugel fällt der Abfall anders aus als bei der Stahlkugel, weil Verlustkraft und Masse sich unterschiedlich verhalten.
Signatur Geometrie der Rotation: Für eine Vollkugel ist v/√(2gh) = √(5/7) = 0,845 unabhängig von h; die Hohlkugel müsste dagegen konstant 0,775 liefern. Bleibt das Verhältnis über alle Höhen gleich, aber unter 0,845, spricht das für einen h-unabhängigen Verlust oder einen Messfehler, nicht für Reibung.
Signatur Lichtschranke: Misst der Strahl nicht den Durchmesser, sondern eine Sehne der Kugel, so ist die gemessene Durchtrittszeit zu kurz und v systematisch zu groß – das passt nicht zum beobachteten zu kleinen Wert. Wandert der Messwert dagegen mit der Strahlhöhe, ist die Geometrie der Lichtschranke die Ursache. Bleibt er konstant, ist die Zeitmessung unverdächtig.
Auswertung: Erst wenn das Verhältnis bei beiden Kugeln und über alle Höhen konstant bleibt, ist der Restfehler ein konstanter Faktor (z. B. Zeitbasis der Lichtschranke); fällt es mit h, dominiert Reibung.