Der Spannungsteiler, der nicht halbiert: der Innenwiderstand des Voltmeters
Zwei Widerstände mit je 10,0 kΩ sind in Reihe an ein Netzgerät mit 12,0 V angeschlossen (Innenwiderstand 0,5 Ω, im Rahmen der Messgenauigkeit vernachlässigbar). Ein analoges Drehspulmessgerät im 10-V-Bereich soll die Spannung am zweiten Widerstand messen und zeigt 4,0 V an. Die Widerstandswerte wurden zuvor mit einer Wheatstone-Brücke bestätigt. Ein Schüler rechnet nach und erklärt, einer der Widerstände müsse 20 kΩ haben, weil bei 10 kΩ und 10 kΩ doch 6,0 V zu erwarten wären; ein anderer tippt auf ein schwaches Netzgerät. Auf dem Gehäuse des Messgeräts steht klein gedruckt „1 kΩ/V“. Ein zweites Digitalmultimeter ist defekt, es steht nur dieses eine Anzeigeinstrument zur Verfügung. Die Lehrkraft möchte, dass die Gruppe zuerst die Messung selbst hinterfragt, und verlangt zusätzlich eine Abschätzung, wie sich der Fehler verändert, wenn man statt der 10-kΩ-Widerstände solche mit 100 kΩ verwendet.
1. Bestimmen Sie aus der Anzeige den Innenwiderstand des Messgeräts und prüfen Sie die beiden Vermutungen (falscher Widerstandswert bzw. schwaches Netzgerät) mit einer Rechnung.
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Rechnung: Das Messgerät liegt parallel zu R₂, wirksam ist also R₂* = R₂Rv/(R₂ + Rv). Es gilt
U₂/U₀ = R₂*/(R₁ + R₂*) ⇒ 4,0/12,0 = 1/3 = R₂*/(10 kΩ + R₂*).
Daraus folgt R₁ = 2R₂*, also R₂* = 5,0 kΩ. Mit 1/R₂* = 1/R₂ + 1/Rv ergibt sich 1/Rv = 1/5,0 − 1/10,0 = 0,10 kΩ⁻¹, also Rv = 10 kΩ. Das passt exakt zur Aufschrift 1 kΩ/V im 10-V-Bereich (10 V · 1 kΩ/V = 10 kΩ).
Vermutung „falscher Widerstand“: Wäre R₂ = 20 kΩ und das Messgerät ideal, läge die Anzeige bei 8,0 V, nicht bei 4,0 V. Um mit einem idealen Messgerät 4,0 V zu erhalten, müsste R₂ = R₁ sein – also genau der bestätigte Nennwert. Die Vermutung erklärt die Anzeige nicht.
Vermutung „schwaches Netzgerät“: Ein Innenwiderstand der Quelle verringert die Gesamtspannung, ändert aber das Teilungsverhältnis nicht. Beobachtet wird dagegen U₁:U₂ = 8,0 V:4,0 V = 2:1 statt 1:1 – eine Verzerrung des Verhältnisses, die nur durch einen zusätzlichen Strompfad parallel zu R₂ entstehen kann.
Ergebnis: Nicht die Schaltung, sondern die Messung ist die Fehlerquelle; das Messgerät belastet den Spannungsteiler.
2. Berechnen Sie die Anzeige für zwei 100-kΩ-Widerstände und begründen Sie allgemein, warum der Fehler mit dem Widerstandsniveau der Schaltung wächst.
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Rechnung mit R₁ = R₂ = 100 kΩ und Rv = 10 kΩ: R₂* = 100·10/110 kΩ = 9,09 kΩ; Gesamtwiderstand 109,09 kΩ; U₂ = 12,0 V · 9,09/109,09 = 1,00 V statt der erwarteten 6,0 V.
Begründung: Maßgeblich ist das Verhältnis R₂/Rv. Solange R₂ ≪ Rv gilt, fließt durch das Messgerät fast kein Strom und die Anzeige ist nahezu richtig. Wächst R₂ in die Größenordnung von Rv, entzieht das Messgerät dem Knoten einen erheblichen Teilstrom; bei R₂ = 10·Rv sinkt der wirksame Widerstand auf rund ein Zehntel von R₂, und fast die gesamte Spannung fällt an R₁ ab.
Quantitativ: Der relative Fehler der Spannungsanzeige ist näherungsweise R₂/(R₂ + Rv) im Nenner des Teilungsverhältnisses; er geht für R₂ → 0 gegen null und für R₂ ≫ Rv gegen 100 %.
Konsequenz für die Praxis: Ein Spannungsteiler darf nur mit einem Messgerät mit Rv ≫ R₂ betrieben werden; bei 10 kΩ genügt ein Digitalmultimeter mit 10 MΩ (Fehler unter 0,1 %), das alte Drehspulmessgerät ist für 100-kΩ-Schaltungen unbrauchbar. Wer den Fehler nicht kennt, misst bei hohen Widerständen systematisch zu klein und hält die Schaltung für defekt.
3. Ohne ein zweites Voltmeter soll der Innenwiderstand des Messgeräts unabhängig bestätigt werden. Beschreiben Sie ein Verfahren mit den vorhandenen Bauteilen und begründen Sie, warum es funktioniert.
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Verfahren (zwei Messungen mit unterschiedlichem Vorwiderstand):
- R₁ = 10,0 kΩ, R₂ = 10,0 kΩ: Anzeige U₂ = 4,0 V (bereits gemessen).
- R₁ = 20,0 kΩ (aus zwei 10-kΩ-Widerständen), R₂ = 10,0 kΩ: erwartete Anzeige U₂' = 12,0 V · 5,0/25,0 = 2,4 V.
Aus beiden Gleichungen U₂ = U₀·R₂*/(R₁ + R₂*) mit unbekanntem R₂* = R₂Rv/(R₂ + Rv) lässt sich R₂* und damit Rv bestimmen; die erste Messung liefert R₂* = 5,0 kΩ, die zweite bestätigt es unabhängig (2,4/12,0 = 5,0/25,0).
Warum das funktioniert: Beide Messungen benutzen dasselbe Gerät als Belastung, aber unterschiedliche Serienwiderstände. Der unbekannte Rv wirkt in beiden Fällen gleich, während sich der ideale Teilungsfaktor stark ändert; aus der Abweichung beider Anzeigen vom jeweiligen Idealwert lässt sich Rv eindeutig herausrechnen.
Alternatives Verfahren: Einen bekannten Widerstand R₃ in Reihe zum Gerät legen, die Spannung an R₃ und am Gerät in zwei Schritten messen und über I = U₃/R₃ sowie Rv = Uv/I auswerten. Beide Varianten kommen ohne ein zweites Voltmeter aus.
Grenzen: Bei sehr kleinem Rv ist die Anzeige klein und die Ablesegenauigkeit begrenzt; außerdem muss der Innenwiderstand des Netzgeräts (0,5 Ω) nicht berücksichtigt werden, weil er gegenüber 10 kΩ verschwindet.