Beugung am Einzelspalt: falsche Formel oder falscher Laser?
Ein Grundkurs untersucht die Beugung an einem Einzelspalt. Als Lichtquelle dient ein Lasermodul, dessen Wellenlänge mit 633 nm angegeben ist; der Schirm steht 2,50 m hinter dem Spalt. Der Spalt ist mit 0,10 mm beschriftet. Die Gruppe markiert auf dem Schirm die beiden Stellen, an denen die Intensität zum ersten Mal auf null abfällt, und misst den Abstand dieser beiden Minima zu 3,2 cm. Daraus berechnet ein Schüler mit y = λ·L/b eine Spaltbreite von 0,049 mm und schließt, die Beschriftung sei falsch oder die Wellenlänge des Lasers stimme nicht – bei 0,10 mm Spaltbreite müsste die Wellenlänge schließlich 1,3 µm betragen. Die Lehrkraft verlangt eine Entscheidung zwischen den beiden Hypothesen, ohne weitere Geräte zu benutzen, und weist darauf hin, dass zwischen den beiden Minima ein breites Maximum liegt. Ein zweiter, identischer Spalt mit 0,50 mm Abstand zum ersten liegt in der Schublade.
1. Prüfen Sie die Rechnung des Schülers und entscheiden Sie begründet, welche der beiden Hypothesen zutrifft.
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Fehler in der Rechnung: Die Formel y = λL/b beschreibt den Abstand von der Mitte zum ersten Minimum. Gemessen wurde aber der Abstand zwischen den beiden ersten Minima, also 2y. Damit ist y = 1,6 cm.
Korrekte Auswertung: b = λL/y = 633·10⁻⁹ m · 2,50 m / 1,6·10⁻² m = 9,9·10⁻⁵ m ≈ 0,099 mm.
Entscheidung: Die Beschriftung 0,10 mm ist korrekt, die Wellenlänge des Lasers ist unverdächtig; der Schüler hat die Breite des zentralen Maximums mit dem Abstand Mitte–Minimum verwechselt, also einen Faktor 2 übersehen. Genau dieser Faktor 2 steckt in seinem Ergebnis 0,049 mm.
Gegenprobe zur zweiten Hypothese: Wäre die Wellenlänge tatsächlich 1,3 µm, müsste das Lasermodul im nahen Infrarot arbeiten – die Beugungsfigur wäre mit bloßem Auge kaum sichtbar, und der Fleck auf dem Schirm wäre nicht als rot zu erkennen. Ein so grober Fehler der Herstellerangabe ist bei einem Lasermodul zudem unwahrscheinlich.
Merksatz: Bei der Einzelspalt-Beugung ist der Abstand der beiden ersten Minima Δy = 2λL/b; wer Δy in die Formel einsetzt, halbiert die Spaltbreite.
2. Berechnen Sie, was mit dem Doppelspalt (Spaltabstand 0,50 mm, gleiche Einzelspaltbreite) auf demselben Schirm zu sehen wäre, und erläutern Sie den Zusammenhang beider Beugungsfiguren.
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Interferenzterm: Δy = λL/d = 633·10⁻⁹ m · 2,50 m / 5,0·10⁻⁴ m = 3,2·10⁻³ m ≈ 3,2 mm Abstand benachbarter Maxima.
Beugungsterm: Die Einzelspaltbreite b = 0,10 mm bleibt unverändert, die erste Nullstelle der einhüllenden Verteilung liegt weiterhin bei y = 1,6 cm, also 16 mm beidseits der Mitte.
Zusammenspiel: Das Doppelspaltbild ist das Produkt aus dem schnell oszillierenden Interferenzterm (Periode 3,2 mm) und der breiten Einzelspalt-Einhüllenden (Breite 32 mm). In die Einhüllende passen je Seite etwa 16 mm / 3,2 mm = 5 Maxima, insgesamt also rund 11 sichtbare Maxima; das mittlere liegt bei y = 0 und ist das hellste.
Wichtige Konsequenz: Beide Figuren haben dieselbe Einhüllende, weil sie dieselbe Spaltbreite besitzen. Die Doppelspalt-Interferenz liefert die feine Struktur, die Einzelspalt-Beugung die Einhüllende. Verschiebt man einen Spalt seitlich, wandert nur die Feinstruktur, nicht die Einhüllende – ein gutes Unterscheidungsmerkmal bei der Auswertung.
3. Beurteilen Sie, wie genau die Spaltbreite mit dieser Messung bestimmt werden kann, und nennen Sie eine sinnvolle Verbesserung.
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Unsicherheitsbetrachtung: Aus b = 2λL/Δy folgt für den relativen Fehler Δb/b ≈ Δ(Δy)/Δy (L und λ seien als bekannt unterstellt). Bei einer Ablesegenauigkeit von etwa 1 mm auf 32 mm ergibt sich ein relativer Fehler von rund 3 %, also b = (0,099 ± 0,003) mm. Der wahre Fehler ist eher größer, weil die Markierung der Nullstelle auf dem Schirm subjektiv ist – das Minimum ist flach, die Position lässt sich schlechter festlegen als ein Maximum.
Systematische Grenzen: Die Formel gilt für Fraunhofer-Beugung (L ≫ b²/λ = 1,6 cm); bei L = 2,50 m ist das erfüllt. Kritischer sind endliche Strahlbreite, der Abstand Spalt–Schirm (aus der Spaltebene gemessen?) und die endliche Dicke der Spaltbacken.
Verbesserung: Statt der ersten Minima den Abstand der Minima höherer Ordnung messen, etwa der ±3. Minima. Deren Abstand beträgt 6y ≈ 9,5 cm; bei gleicher Ablesegenauigkeit sinkt der relative Fehler auf rund 1 %. Alternativ mehrere Ordnungen auswerten und über y_m = mλL/b eine Geradensteigung bestimmen, was zugleich die Zuordnung der Ordnungen prüft.
Fazit: Die Messung entscheidet die gestellte Frage nach Faktor 2 eindeutig, taugt aber für eine Präzisionsbestimmung der Spaltbreite nur mit der beschriebenen Erweiterung.