Zu kurz gelebt? Statistik und Nachwachsen bei der Thoron-Messung
Im Physikraum wird Thoron (²²⁰Rn, Halbwertszeit 55,6 s) aus einer Thoriumquelle in eine Messkammer gespült. Nach dem Spülen zählt ein Zählrohr die Impulse in aufeinanderfolgenden 20-s-Fenstern; der Untergrund wurde vorher zu 3 Impulsen pro 20 s bestimmt. Die Gruppe notiert Bruttoimpulse von 243 im Fenster 0–20 s, 123 im Fenster 60–80 s und 63 im Fenster 120–140 s und trägt die um den Untergrund korrigierten Werte 240, 120 und 60 halblogarithmisch auf. Die Ausgleichsgerade ergibt eine Halbwertszeit von 60 s. Eine Schülerin erklärt die Messung für unbrauchbar, weil 60 s nicht 55,6 s seien; ein Mitschüler will die Quelle als zu schwach verwerfen. Die Lehrkraft fragt nach der statistischen Unsicherheit und nach systematischen Effekten, insbesondere nach dem Nachwachsen von Thoron aus dem Präparat in der ersten Messphase.
1. Bestimmen Sie aus den drei Werten die Halbwertszeit und schätzen Sie ihre Unsicherheit aus der Poisson-Statistik ab. Ist der Unterschied zu 55,6 s signifikant?
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Auswertung: 240 → 120 in 60 s und 120 → 60 in weiteren 60 s bedeutet jeweils Halbierung, also T = 60 s. Konsistent dazu liefert die Halblogarithmierung eine Gerade.
Unsicherheit: Die Unsicherheit der Bruttozählung ist √N. Für 243 gilt σ ≈ 15,6, für 123 σ ≈ 11,1; die Untergrundkorrektur ändert das kaum (σ ≈ 15,7 bzw. 11,2). Relative Fehler: 6,5 % und 9,2 %. Für das Verhältnis r = N₁/N₂ addieren sich die relativen Fehler quadratisch: σ_r/r = √(6,5² + 9,2²) ≈ 11 %. Wegen T = Δt·ln2/ln r folgt σ_T/T = (σ_r/r)/ln2 ≈ 0,11/0,693 ≈ 16 %, also T = (60 ± 10) s.
Beurteilung: Die Abweichung von 4,4 s entspricht weniger als einer Standardabweichung. Die Aussage „die Messung ist unbrauchbar“ ist damit nicht gedeckt; ebenso wenig ist die Quelle „zu schwach“ – entscheidend ist nicht die Zählrate, sondern die Zahl der registrierten Impulse und damit die Statistik.
Fazit: Mit dieser Datenmenge lässt sich zwischen 55,6 s und 60 s nicht unterscheiden; dazu müsste die Unsicherheit deutlich unter 10 % gedrückt werden.
2. Diskutieren Sie zwei systematische Effekte, die die scheinbare Halbwertszeit verlängern oder verkürzen können, und beurteilen Sie, welcher hier dominiert.
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Effekt 1 – Nachwachsen in der Kammer: Thoron entsteht laufend aus dem Thoriumpräparat. In den ersten Sekunden nach dem Spülen steigt die Aktivität in der Kammer daher noch an, bevor der Zerfall dominiert. Die ersten Fenster enthalten dann zu viele Impulse, N₀ erscheint zu groß und die Halbwertszeit wird zu lang geschätzt. Das passt genau zur beobachteten Richtung 60 s > 55,6 s.
Effekt 2 – Gasaustritt/Leck: Entweicht Thoron aus der Kammer, sinkt die Impulsrate zusätzlich zum radioaktiven Zerfall; die scheinbare Halbwertszeit wird zu kurz. Auch eine falsche Untergrundannahme wirkt in diese Richtung, aber schwach: Selbst bei Untergrund 6 statt 3 ergibt sich aus 237 und 57 eine Halbwertszeit von etwa 58 s.
Effekt 3 – Totzeit: Bei 243 Impulsen in 20 s sind es etwa 12 Impulse pro Sekunde. Bei einer Totzeit von 100–200 µs liegt der Verlust im Promillebereich; er würde die ersten Werte leicht unterdrücken und die Halbwertszeit verkürzen, ist hier aber vernachlässigbar.
Beurteilung: Der Totzeiteffekt scheidet quantitativ aus, der Gasaustritt ist richtungsmäßig falsch. Das Nachwachsen erklärt sowohl die Richtung als auch die Größenordnung der Abweichung. Sauber wäre, die ersten 20–40 s nach dem Spülen zu verwerfen oder vor der Messung das Gleichgewicht mit dem Präparat abzuwarten.
3. Wie müsste man messen, um 55,6 s und 60 s auf dem 3σ-Niveau zu trennen? Leiten Sie den Bedarf an Zählstatistik ab und beurteilen Sie die praktische Umsetzbarkeit.
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Forderung: Für eine 3σ-Trennung der Werte 55,6 s und 60 s muss die Standardabweichung σ_T kleiner als etwa 1,5 s sein, also σ_T/T ≈ 2,5 %.
Zählstatistik: Mit σ_T/T = (σ_r/r)/ln2 und σ_r/r ≈ √(2/N) bei zwei gleich starken Fenstern folgt √(2/N)/0,693 ≤ 0,025, also √(2/N) ≤ 0,017 und N ≥ 2/3·10⁻⁴ ≈ 7 000. Für eine sichere 3σ-Trennung mit etwas Reserve sind eher 2·10⁴ bis 3·10⁴ Impulse pro ausgewertetem Fenster nötig – rund das Hundertfache der jetzigen Statistik.
Praktische Umsetzbarkeit: 25 000 Impulse in 20 s bedeuten etwa 1 250 Impulse pro Sekunde. Damit wird die Totzeit des Zählrohrs relevant und muss korrigiert werden; außerdem ist die Thoron-Zufuhr aus einem Schulpräparat begrenzt. Realistischer ist daher, viele 20-s-Fenster aufzunehmen und die ganze Zerfallskurve mit einer Ausgleichsgeraden auszuwerten: Die Statistik wird dann von der Gesamtimpulszahl bestimmt, und zugleich lässt sich die Nachwachsphase aus den ersten Fenstern erkennen und ausschließen.
Grenze des Verfahrens: Selbst mit perfekter Statistik bliebe die systematische Unsicherheit durch Nachwachsen und Gasaustritt; ohne deren Kontrolle ist eine 3σ-Unterscheidung von 4,4 s gar nicht sinnvoll anstrebbar.