Planck-Konstante aus LED-Schwellenspannungen: ein Punkt oder eine Gerade?
Im Grundkurs werden LEDs mit den Wellenlängen 660 nm (rot), 590 nm (gelb), 525 nm (grün) und 470 nm (blau) an einer regelbaren Spannungsquelle betrieben. Als Schwellenspannung wird die Spannung notiert, bei der die Stromstärke gerade 1,0 mA erreicht: 1,80 V, 2,02 V, 2,28 V und 2,55 V. Ein Schüler berechnet daraus für die rote LED h = e·U·λ/c = 6,3·10⁻³⁴ J·s und erklärt, der Literaturwert 6,63·10⁻³⁴ J·s müsse falsch sein. Eine Mitschülerin wendet ein, die LED leuchte keineswegs bei genau einer Wellenlänge. Die Lehrkraft schlägt vor, statt eines Einzelwertes die Steigung im U-(1/λ)-Diagramm zu verwenden. Zur Verfügung stehen außerdem ein Spektrometer mit 2 nm Auflösung und die Möglichkeit, die Schwellenspannung alternativ bei 0,1 mA abzulesen.
1. Berechnen Sie h aus dem roten Messpunkt und aus der Steigung zwischen rotem und blauem Punkt. Vergleichen Sie beide Werte mit dem Literaturwert und erklären Sie den Unterschied.
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Einzelpunkt (rot): h = e·U·λ/c = 1,602·10⁻¹⁹ C · 1,80 V · 660·10⁻⁹ m / 2,998·10⁸ m/s = 6,35·10⁻³⁴ J·s, das sind 4,2 % unter dem Literaturwert.
Steigung: 1/λ_rot = 1,515·10⁶ m⁻¹, 1/λ_blau = 2,128·10⁶ m⁻¹, Δ(1/λ) = 6,13·10⁵ m⁻¹; ΔU = 0,75 V. Damit ist die Steigung 0,75 V / 6,13·10⁵ m⁻¹ = 1,22·10⁻⁶ V·m und h = Steigung · e/c = 1,22·10⁻⁶ · 1,602·10⁻¹⁹ / 2,998·10⁸ = 6,54·10⁻³⁴ J·s (1,3 % unter dem Literaturwert).
Erklärung des Unterschieds: Die Einzelpunktauswertung unterstellt eU = hc/λ exakt. Tatsächlich liegt zwischen der angelegten Spannung und der Bandkante ein nahezu konstanter Beitrag (Kontaktspannung, Diodenkennlinie, Kriterium „1 mA“). Rechnet man mit dem idealen Wert 1240/λ[nm] V, so wäre für 660 nm U = 1,879 V zu erwarten; gemessen wurden 1,80 V, für 590 nm 2,102 V gegenüber 2,02 V, für 525 nm 2,362 V gegenüber 2,28 V und für 470 nm 2,638 V gegenüber 2,55 V. Die Abweichung ist mit etwa −0,08 V für alle vier LEDs nahezu gleich.
Fazit: Ein konstanter Offset verschiebt die Gerade nach unten, ändert aber ihre Steigung nicht. Deshalb liefert die Steigung den richtigen Wert, der Einzelpunkt einen um den Offset verfälschten.
2. Beurteilen Sie den Einwand des Schülers („der Literaturwert ist falsch“) und den Einwand der Mitschülerin („die LED leuchtet nicht bei genau einer Wellenlänge“) mit Blick auf die Physik der LED.
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Zum Einwand des Schülers: Die Gleichung eU = hc/λ gilt für einen idealen Übergang ohne weitere Spannungsanteile. Eine reale LED hat eine Diodenkennlinie: Der Strom steigt exponentiell, der Arbeitspunkt „1,0 mA“ ist eine willkürliche Festlegung, und Kontakt- sowie Bahnwiderstände verschieben die Spannung. Ein Einzelpunkt kann h daher nur auf wenige Prozent genau liefern. Aus einer 4-%-Abweichung zu schließen, die Naturkonstante sei falsch, verwechselt Modellgüte mit Messfehler – der Literaturwert ist vielfach unabhängig bestätigt.
Zum Einwand der Mitschülerin: Er ist berechtigt. Die Rekombination über die Bandlücke erzeugt ein Spektrum mit endlicher Breite; typische Halbwertsbreiten liegen bei 20–30 nm, zusätzlich verschiebt sich das Maximum mit Temperatur und Strom. Die angegebene Wellenlänge ist eine Nennwellenlänge (Peak), nicht eine scharfe Linie. Für die Auswertung bedeutet das: λ geht linear in h ein, eine Unsicherheit von 20 nm auf 660 nm sind 3 %.
Zusammenschau: Beide Einwände laufen auf dasselbe hinaus – das Modell eU = hc/λ ist eine Näherung, die man durch eine Mehrpunktauswertung entschärfen kann. Der Schüler zieht die falsche Konsequenz (Naturkonstante anzweifeln), die Mitschülerin die richtige (Modellgrenzen beachten).
3. Beschreiben Sie mit den vorhandenen Mitteln ein Vorgehen, mit dem sich prüfen lässt, ob die Abweichung von einem konstanten Offset herrührt, und erläutern Sie, was ein Offset von etwa 0,08 V für die Deutung bedeutet.
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Vorgehen 1 – zwei Stromkriterien: Für jede LED die Spannung bei 0,1 mA und bei 1,0 mA ablesen. Ist die Differenz ΔU für alle vier LEDs gleich groß (unabhängig von λ), so verschiebt das Kriterium nur den Arbeitspunkt auf derselben Kennlinie; die Steigung im U-(1/λ)-Diagramm und damit h bleiben unberührt. Wächst ΔU dagegen mit der Wellenlänge oder dem Strom, steckt ein widerstandsabhängiger Anteil dahinter.
Vorgehen 2 – Spektrometer: Die tatsächliche Peakwellenlänge jeder LED messen und statt der Nennwerte einsetzen. Damit lässt sich prüfen, ob die Punkte im U-(1/λ)-Diagramm auf einer Geraden liegen und wo diese die U-Achse schneidet. Ein von null verschiedener Achsenabschnitt ist direkt der Offset.
Deutung eines Offsets von 0,08 V: Bezogen auf die ideale Spannung von 1,879 V bei 660 nm sind das rund 4 % – genau die Abweichung des Einzelpunkts. Der Offset ist also keine Eigenschaft der LED-Farbe, sondern ein konstanter Spannungsanteil, der bei jeder LED abgezogen werden müsste. Physikalisch steckt dahinter, dass die Emission erst bei einer um wenige Zehntel-Elektronenvolt verschobenen Energie einsetzt und der Strom bei 1 mA bereits deutlich über dem Einsatzpunkt liegt; die angelegte Spannung ist daher keine reine Bandkanten-Spannung.
Konsequenz: Nur die Steigung ist ein belastbares Maß für h; der Achsenabschnitt ist eine Eigenschaft der Messanordnung und des Kriteriums, nicht der Naturkonstante.