Innenwiderstand einer Batterie: Messgeräte, Erwärmung und Signifikanz
Im Physikpraktikum soll die Leerlaufspannung und der Innenwiderstand einer Zink-Kohle-Batterie bestimmt werden. Der Widerstandsbaustein R = 10,0 Ω und das Amperemeter (Innenwiderstand 0,15 Ω) liegen in Reihe an der Batterie; das Voltmeter (Innenwiderstand 1,0 MΩ) misst die Klemmenspannung der Batterie. Bei geöffnetem Stromkreis zeigt das Voltmeter 9,02 V. Bei geschlossenem Stromkreis zeigt das Amperemeter 0,842 A und das Voltmeter 8,41 V. Nach zwei Minuten steigt die Stromstärke bei unverändertem R auf 0,861 A, während die Klemmenspannung auf 8,28 V sinkt. Ein Schüler berechnet aus dem ersten Messpaar r = 0,72 Ω und erklärt die Batterie für „ideal belastbar“. Die Umgebungstemperatur beträgt 21 °C. Die Messgeräte werden als linear kalibriert angenommen; die Unsicherheit der Spannungsmessung beträgt ±0,02 V, die der Strommessung ±0,005 A.
1. Berechnen Sie den Innenwiderstand aus dem ersten Messpaar und prüfen Sie den Einfluss des Amperemeter-Innenwiderstands sowie des Voltmeter-Innenwiderstands auf das Ergebnis.
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Es gilt r = (U0 − U)/I = (9,02 − 8,41)/0,842 = 0,724 Ω. Das Amperemeter liegt in Reihe und erhöht den äußeren Widerstand; es verändert bei dieser Messung nicht die Gleichung U = U0 − I·r, solange U an den Batterieklemmen abgegriffen wird. Der vom Voltmeter zusätzlich gezogene Strom ist I_V = 8,41 V / 1,0 MΩ = 8,4 µA, also etwa 0,001 % von 0,842 A. Der Batteriestrom ist praktisch 0,842 A; der Einfluss auf r ist kleiner als 10^−5 Ω. Mit ΔU = 0,02 V und ΔI = 0,005 A folgt Δr ≈ sqrt((0,02/0,842)² + (0,61·0,005/0,842²)²) ≈ 0,024 Ω. Ergebnis: r = (0,72 ± 0,02) Ω.
2. Erklären Sie mit einem physikalischen Modell die Änderung nach zwei Minuten und beurteilen Sie die Aussage „ideal belastbar“. Berechnen Sie dazu die im Inneren umgesetzte Leistung zu beiden Zeitpunkten.
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Nach zwei Minuten ist r2 = (9,02 − 8,28)/0,861 = 0,859 Ω. Die im Inneren umgesetzte Leistung ist P1 = I1²·r1 = 0,842²·0,724 = 0,513 W; P2 = 0,861²·0,859 = 0,637 W. Die Zunahme ist mit Erwärmung, Polarisations- und Elektrolyteffekten vereinbar. „Ideal belastbar“ wäre nur, wenn U0 bei jeder Belastung konstant bliebe und r = 0 wäre; hier sinkt die Klemmenspannung deutlich und die Verlustleistung steigt. Die Batterie ist also real, nicht ideal. Die Annahme U0 = 9,02 V auch nach zwei Minuten ist eine Näherung; eine Drift der Leerlaufspannung würde r2 verfälschen.
3. Die Messunsicherheiten sind angegeben. Entscheiden Sie, ob der Anstieg des Innenwiderstands von 0,72 Ω auf 0,86 Ω signifikant ist, und nennen Sie eine systematische Fehlerquelle, die die Aussagekraft einschränkt.
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Der Unterschied ist Δr = 0,859 − 0,724 = 0,135 Ω. Die kombinierten Unsicherheiten sind etwa sqrt(0,024² + 0,026²) = 0,035 Ω; der Unterschied ist also etwa 3,9 σ und signifikant. Systematisch begrenzend wirken der Temperaturkoeffizient des Widerstandsbausteins, Kalibrierfehler von Volt- und Amperemeter, Übergangswiderstände an den Klemmen, Alterung und Polarisation der Batterie sowie die Annahme einer konstanten Leerlaufspannung. Eine Aussage über die tatsächliche Batterieerwärmung ist daher nur mit wiederholten Messungen und einer direkten Temperaturmessung belastbar.