Photoeffekt: Plancksches Wirkungsquantum trotz Kontaktspannung
Im Schülerlabor wird der Photoeffekt an einer Kaliumkathode (Austrittsarbeit W_A = 2,25 eV) untersucht. Drei Leuchtdioden mit den Wellenlängen 365 nm, 450 nm und 560 nm bestrahlen nacheinander die Kathode. Mit einer Gegenspannungsquelle wird der Photostrom zum Verschwinden gebracht; die Spannung wird mit einem Digitalmultimeter gemessen (Unsicherheit ±0,02 V). Für 365 nm wird eine Gegenspannung von 0,80 V, für 450 nm von 0,16 V eingestellt. Bei 560 nm fließt auch ohne Gegenspannung kein Strom. Ein Mitschüler berechnet aus jeder einzelnen Messung einen Wert für das Plancksche Wirkungsquantum und erhält Werte um 5,8·10^-34 J s bis 6,0·10^-34 J s. Er hält den Literaturwert 6,63·10^-34 J s für unvereinbar mit den Daten. Die Kontaktspannung zwischen Kathode und Anode ist unbekannt. Die LED-Bandbreite wird vernachlässigt; die angegebenen Wellenlängen gelten als exakt. Die Austrittsarbeit ist mit ±0,05 eV bekannt.
1. Berechnen Sie die Photonenenergien der drei LEDs in eV und sagen Sie für jede Wellenlänge voraus, ob Photoelektronen austreten. Bestimmen Sie die erwartete Gegenspannung ohne Kontaktspannung.
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Mit hc ≈ 1240 eV·nm gilt: E(365 nm) = 1240/365 = 3,40 eV; E(450 nm) = 1240/450 = 2,76 eV; E(560 nm) = 1240/560 = 2,21 eV. Die Austrittsarbeit ist 2,25 eV. Bei 365 nm und 450 nm treten Elektronen aus, bei 560 nm nicht, weil 2,21 eV < 2,25 eV. Ohne Kontaktspannung wären die maximalen kinetischen Energien 3,40 − 2,25 = 1,15 eV bzw. 2,76 − 2,25 = 0,51 eV; die erwarteten Gegenspannungen wären 1,15 V und 0,51 V.
2. Erklären Sie, warum die einzelnen h-Werte systematisch zu klein ausfallen, und bestimmen Sie aus der Differenz der beiden Messungen einen genaueren Wert für h. Berücksichtigen Sie die Kontaktspannung als konstante Verschiebung.
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Die gemessenen Gegenspannungen sind 0,80 V und 0,16 V, also um etwa 0,35 V kleiner als erwartet. Eine konstante Kontaktspannung U_K verschiebt beide Messwerte gleich: U_gemessen = U_ideal − U_K. Aus den beiden Messungen folgt U_K ≈ 1,15 − 0,80 = 0,35 V und 0,51 − 0,16 = 0,35 V. Die Differenzmethode eliminiert U_K: ΔE = e·(0,80 − 0,16) eV = 0,64 eV. Die Frequenzdifferenz ist Δf = c·(1/365 nm − 1/450 nm) = 1,55·10^14 Hz. Damit ist h = ΔE/Δf = (0,64·1,602·10^−19 J)/(1,55·10^14 Hz) = 6,6·10^−34 J·s. Das ist nahe am Literaturwert; die einzelnen h-Werte sind durch die unkorrigierte Kontaktspannung systematisch zu klein.
3. Die Kontaktspannung wird als konstant angenommen. Prüfen Sie diese Annahme anhand der beiden Messungen und nennen Sie eine mögliche Ursache für eine verbleibende Abweichung.
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Die Annahme einer konstanten Kontaktspannung wird durch die beiden Messungen gestützt: Die Abweichungen 0,35 V und 0,35 V stimmen innerhalb der Spannungsunsicherheit von 0,02 V überein. Der korrigierte h-Wert 6,6·10^−34 J·s liegt etwa 0,5 % unter 6,63·10^−34 J·s. Verbleibende Abweichungen können von der Unsicherheit der Austrittsarbeit (±0,05 eV), der endlichen LED-Bandbreite, der Kalibrierung des Multimeters und einer leichten Abhängigkeit der Kontaktspannung von der Bestrahlung stammen. Die Daten sind daher mit dem Photonenmodell vereinbar; die Schlussfolgerung des Mitschülers, der Literaturwert sei unvereinbar, beruht auf der Vernachlässigung eines systematischen Offsets.