Mischungstemperatur und Entropie: Wie viel Wärme geht verloren?
In einer Thermoskanne werden 0,750 kg Wasser bei 92,0 °C mit 0,150 kg Milch bei 5,0 °C gemischt. Die spezifische Wärmekapazität beider Flüssigkeiten wird als gleich c = 4,18 kJ/(kg·K) angenommen; die Wärmekapazität der Kanne wird vernachlässigt. Nach dem Mischen und kurzem Umrühren zeigt ein geeichtes Thermometer 71,0 °C. Die Anfangstemperaturen wurden mit einer Unsicherheit von ±0,5 K gemessen. Das Thermometer hat eine Auflösung von 0,1 K und eine Reaktionszeit von 5 s. Ein Schüler berechnet eine Mischungstemperatur von 77,5 °C und schließt auf einen Messfehler des Thermometers. Die Umgebungstemperatur beträgt 21,0 °C. Die Dichteänderungen und Verdunstung werden vernachlässigt; das System sei nach außen nicht vollständig isoliert. Der Prozess dauert etwa 2 Minuten.
1. Berechnen Sie die theoretische Mischungstemperatur und die Wärmemenge, die das System während des Mischens an die Umgebung abgegeben haben muss, damit die gemessene Temperatur erklärt wird.
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Die Mischungstemperatur ohne Wärmeverlust ist T = (m1·T1 + m2·T2)/(m1 + m2) = (0,750·92,0 + 0,150·5,0)/0,900 = (69,0 + 0,75)/0,900 = 77,5 °C. Gemessen werden 71,0 °C, also 6,5 K weniger. Die abgegebene Wärme ist Q = (m1 + m2)·c·ΔT = 0,900 kg·4,18 kJ/(kg·K)·6,5 K = 24,5 kJ. Diese Wärme müsste während der etwa zwei Minuten an die Umgebung gegangen sein; bei 21 °C Umgebung ist das plausibel, wenn die Kanne nicht ideal isoliert ist.
2. Prüfen Sie, ob die gemessene Abweichung allein durch die angegebene Temperaturunsicherheit erklärbar ist. Beurteilen Sie die Schlussfolgerung des Schülers.
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Die Unsicherheit der Anfangstemperaturen pflanzt sich fort: ∂T/∂T1 = m1/(m1 + m2) = 0,833; ∂T/∂T2 = 0,167. Mit ±0,5 K folgt ΔT ≈ sqrt((0,833·0,5)² + (0,167·0,5)²) = 0,43 K. Die Thermometerauflösung ist mit 0,1 K kleiner. Die Vorhersage ist also 77,5 ± 0,4 °C; die Messung 71,0 ± 0,5 °C liegt etwa 6,5 K darunter, also mehr als 10 Standardunsicherheiten. Die Abweichung ist nicht durch die Temperaturunsicherheit erklärbar. Die Schlussfolgerung „Thermometerfehler“ ist daher nicht gerechtfertigt; vielmehr muss das Modell der idealen Isolierung verworfen oder die Mischungsannahme geprüft werden.
3. Berechnen Sie die Entropieänderung der Flüssigkeiten für den idealisierten Mischprozess ohne Wärmeverlust und vergleichen Sie sie mit der Entropieänderung, die sich bei Berücksichtigung der gemessenen Endtemperatur und der Umgebung ergibt. Beurteilen Sie, ob der zweite Prozess irreversibel ist.
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Für den idealisierten Prozess (Endtemperatur 77,5 °C = 350,65 K): ΔS_Wasser = 0,750·4180·ln(350,65/365,15) = −127 J/K; ΔS_Milch = 0,150·4180·ln(350,65/278,15) = +145 J/K; Summe +18 J/K. Die Mischung ist irreversibel, die Entropie der Flüssigkeiten nimmt zu, obwohl keine Wärme nach außen geht. Für den realen Prozess mit 71,0 °C = 344,15 K: ΔS_Wasser = −186 J/K, ΔS_Milch = +134 J/K, Flüssigkeiten zusammen −52 J/K. Die an die Umgebung abgegebene Wärme 24,5 kJ erzeugt bei 294,15 K eine Entropieänderung von +83 J/K. Gesamtänderung ≈ +31 J/K > 0. Auch der reale Prozess ist irreversibel; die Entropieabnahme der Flüssigkeiten wird durch die Entropiezunahme der Umgebung überkompensiert.