Bahnverfall eines CubeSats: Luftwiderstand und Höhenabnahme
Ein Schülerteam untersucht den Bahnverfall eines CubeSats. Der Satellit hat die Masse m = 4,2 kg, eine Querschnittsfläche A = 0,030 m² und einen Widerstandsbeiwert c_D = 2,2. In 400 km Höhe beträgt die Bahngeschwindigkeit 7,67 km/s; die mittlere Luftdichte wird mit ρ = 4,0·10⁻¹² kg/m³ angegeben. Aus zwei Radarvermessungen im Abstand von einem Tag ergibt sich eine mittlere Höhenabnahme von 120 m pro Tag. Das Team modelliert die Bahn als Kreisbahn mit konstanter Dichte und konstantem c_D. Es möchte wissen, ob dieses Modell die beobachtete Abnahme erklären kann oder ob ein zusätzlicher Effekt wie eine falsche Dichteangabe vorliegt. Die Erdmasse ist 5,97·10²⁴ kg, der Erdradius 6,37·10³ km. Diskutiert wird auch, ob die Annahme konstanter Dichte über einen Tag bei nur 120 m Höhenänderung zulässig ist.
1. Berechnen Sie mit dem Modell die Luftwiderstandskraft und die durch Reibung umgesetzte Leistung bei 400 km Höhe. Vergleichen Sie die Tagesenergie mit dem Energieverlust, der aus der Höhenabnahme folgt.
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Die Luftwiderstandskraft ist F_W = 0,5 · ρ · c_D · A · v². Mit v = 7670 m/s folgt F_W = 0,5 · 4,0·10⁻¹² · 2,2 · 0,030 · (7670)² N ≈ 7,8·10⁻⁶ N. Die mechanische Leistung ist P = F_W · v ≈ 7,8·10⁻⁶ · 7670 W ≈ 0,060 W; pro Tag also E_Reib ≈ 0,060 · 86400 J ≈ 5,2·10³ J. Für die Kreisbahn gilt E = −G M m/(2r) und damit |dE/dr| = G M m/(2r²). Mit r = 6,77·10⁶ m, M = 5,97·10²⁴ kg und m = 4,2 kg ergibt sich |dE/dr| ≈ 18 J/m. Bei 120 m pro Tag folgt ein Bahnenergieverlust von etwa 2,2·10³ J. Das Modell liefert also etwa den 2,4-fachen Energieverlust; die Werte sind nicht konsistent, sondern nur dieselbe Größenordnung.
2. Beurteilen Sie, ob das Modell für eine Vorhersage über mehrere Wochen geeignet ist. Gehen Sie auf mindestens zwei Modellannahmen und deren Gültigkeit ein.
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Die konstante Dichte ist über einen Tag kaum problematisch: Mit einer Skalenhöhe von etwa 50 km ändert sich ρ bei 120 m Höhenänderung nur um etwa 120/50000 ≈ 0,24 %. Die Diskrepanz um Faktor 2,4 lässt sich damit nicht erklären. Für eine Vorhersage über Wochen ist das Modell dagegen ungeeignet, weil die Dichte exponentiell mit der Höhe zunimmt und der Satellit bei stärkerem Abfall in dichtere Luft gelangt; außerdem ändern sich c_D mit der Lage, die Querschnittsfläche und die Sonnenaktivität. Auch die Kreisbahnannahme ist nur näherungsweise gültig, da der Luftwiderstand die Bahn elliptisch machen und die Exzentrizität verändern kann. Sinnvoll wäre ein Höhenmodell mit variabler Dichte und eine Angabe der Unsicherheit von ρ und c_D; die Tagesprognose ist nur als Größenordnung belastbar.