Doppelspalt mit Unsicherheiten: Wellenlänge und Spaltbreite
Im Praktikum wird ein Doppelspalt mit einer Laserquelle beleuchtet. Der Spaltabstand ist d = 0,250 mm, der Schirmabstand L = 2,40 m. Die Studierenden zählen zehn Streifenabstände (also elf helle Streifen) auf einer Gesamtbreite von 58,0 mm und geben dafür eine Unsicherheit von ±0,5 mm an. Als Herstellerwellenlänge ist 632,8 nm angegeben. Zusätzlich messen sie das erste Minimum des Beugungsmusters, das durch die endliche Breite der Einzelspalte entsteht, bei y₁ = 14,0 mm vom zentralen Maximum entfernt. Die Raumtemperatur beträgt 21 °C; der Laser war vor der Messung nur kurz eingeschaltet. Die Messung erfolgt auf einem optischen Tisch. Eine Kommilitonin vermutet, dass die Kleinwinkelnäherung bei y₁ = 14,0 mm nicht mehr ausreichend ist und dass die Abweichung der Wellenlänge von der Herstellerangabe dadurch erklärt werden kann.
1. Bestimmen Sie aus dem gemessenen Streifenabstand die Wellenlänge und vergleichen Sie sie mit der Herstellerangabe. Berücksichtigen Sie die Unsicherheit.
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Die Gesamtbreite von 58,0 mm entspricht zehn Streifenabständen, also Δy = 5,80 mm. Für kleine Winkel gilt λ = d · Δy / L. Einsetzen: λ = 0,250·10⁻³ m · 5,80·10⁻³ m / 2,40 m ≈ 6,04·10⁻⁷ m = 604 nm. Die Unsicherheit von Δy ist 0,5 mm/10 = 0,05 mm, also 0,86 %; damit ist Δλ ≈ 5 nm. Ergebnis: λ = (604 ± 5) nm. Die Herstellerangabe 632,8 nm liegt etwa 29 nm entfernt, also deutlich außerhalb der einfachen Messunsicherheit. Entweder ist eine der geometrischen Größen systematisch falsch, oder die Zuordnung der Streifen ist nicht korrekt. Die Abweichung ist zu groß, um sie nur als zufällige Streuung zu behandeln.
2. Bestimmen Sie die Spaltbreite aus dem ersten Minimum und prüfen Sie die Kleinwinkelnäherung.
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Für das erste Minimum des Einzelspalts gilt a · sin θ = λ. Mit der Kleinwinkelnäherung sin θ ≈ y/L folgt a = λ L / y. Mit λ = 604 nm und y = 14,0 mm ergibt sich a = 6,04·10⁻⁷ m · 2,40 m / 0,0140 m ≈ 1,04·10⁻⁴ m = 0,104 mm. Die Näherung ist hier sehr gut: tan θ = 0,0140/2,40 ≈ 5,83·10⁻³, und sin θ unterscheidet sich davon erst in der fünften Dezimalstelle. Der Winkel ist also klein; die Kleinwinkelnäherung kann die 29-nm-Abweichung nicht erklären. Sie wäre erst bei deutlich größeren y oder kleinerem L kritisch.
3. Nennen Sie eine plausible systematische Fehlerquelle für die Abweichung und schlagen Sie eine gezielte Kontrollmessung vor.
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Eine plausible systematische Fehlerquelle ist ein falscher Spaltabstand: Damit 632,8 nm herauskommen, müsste bei sonst gleichen Daten d ≈ 0,262 mm statt 0,250 mm betragen. Ebenso könnte der Schirmabstand L um etwa 11 cm zu klein gemessen sein. Eine gezielte Kontrollmessung wäre, d mit einem Messmikroskop oder einer Mikrometerschraube zu prüfen und L mit einem Maßband über die gesamte Strecke neu zu bestimmen. Außerdem sollte man die Streifen über einen größeren Bereich zählen und ausdrücklich angeben, ob die Breite zehn Abstände oder zehn helle Streifen umfasst; bei zehn hellen Streifen wären es nur neun Abstände. Die kurze Einschaltdauer des Lasers ist dagegen als Erklärung für 29 nm wenig plausibel, sofern keine deutliche Temperaturdrift dokumentiert ist.